不同数据结构的大 O 运行时间

Question

我试图想出以下数据结构的大 O 运行时间。 他们正确吗？

• 将 n 个整数插入到最初为空的 AVL 树中（最佳情况） O(log n)

• 将 n 个整数插入到最初为空的 AVL 树中（最坏情况） O(log n)

• 将 n 个整数插入最初为空的二叉搜索树中，该二叉搜索树不强制执行 结构特性（最佳情况） O(log n)

• 将 n 个整数插入最初为空的二叉搜索树中，该二叉搜索树不强制执行 结构特性（最坏情况） O(n)

解释为什么它们不正确也会很有帮助

Answer 1

我在这里假设您需要插入所有元素的总时间：

(1) 在 AVL 树的最佳情况，您将永远不需要低于根，[即所有元素都等于根]，所以它将是 O(n)。 [无论树的大小如何，都不需要加深超过 1 步]。每个元素 O(1)。

(2) AVL 树的最坏情况：向 AVL 树插入 n 个整数是 O(nlogn)。每一步都是 O(log(T))，其中 T 是当时的大小。 O(log1) + O (log2) + ... + O(logn) = O(log1 + log2 + ... + logn) = O(log(1*...*n)) = O(nlogn)。所以 O(nlogn)。每个元素 O(logn)

(3) 没有强制执行结构，最好的情况，仍然是 O(n)，与 (1) 的原因相同。在最好的情况下，你添加的所有元素都是根，所以你永远不需要在树中向下走，不管它的大小是多少。每个元素 O(1)。

(4) 没有强制执行结构，最坏的情况：正如其他答案中所说，找到每个元素的位置是 O(n)，所以总的来说，你的时间复杂度最差O(n^2)。每个元素 O(n)。

Answer 2

这在你的定义中是不正确的：

将 n 个整数插入一棵最初为空的 AVL 树（最佳情况）O(log n)

您不能在少于 n 的操作中访问（和复制）n 数据项，因为您应该阅读每个项目（因此，O(n) 是在 n 个元素上移动的最低限度）。

所以，我的假设是您为单个元素提供正确的 O()（这有点错误，因为可以在特殊输入上实现最佳；您的估计是平均情况，而不是最好的），所以，总共描述的操作我将每个乘以O(n)：

• 将 n 个整数插入最初为空的 AVL 树（最佳 情况）O(n*log n) 更新：这是平均值；特殊输入的最佳时间可能会更短。

• 将 n 个整数插入最初为空的 AVL 树（最坏情况）O(n*log n)

• 将 n 个整数插入一个初始为空的二叉搜索树，该二叉搜索树不强制执行结构属性（最佳情况）O(n*log n) 更新：这可能取决于实现和整数序列；所以最好的情况是O(n)（见 cmets）。

• 将 n 个整数插入最初为空的二叉搜索树中，该二叉搜索树不强制执行结构属性（最坏情况）O(n*n)

Answer 3

插入n 整数如何导致O(logn) 的大O。这没有任何意义。当然读取整数本身至少需要O(n)。

因此，对于不平衡的 BST 示例，最坏的情况是您插入一个排序的数字列表，例如 1,2,3,4。插入 1 需要 0 时间。插入 2 需要 ~1 时间。插入 3 需要 ~2 时间。等等。这相当于1+2+3+...+n = O(n^2)。

同样，在最佳情况下，每个后续插入都需要 log(i) 时间。所以总运行时间为log(1)+log(2)+log(3)+...+log(n)。这评估的结果不是很明显。但如果你懂一点微积分，你会发现这（几乎）是从 1 到 n 的 log n 积分的梯形规则近似。这大约是nlogn - n = O(nlogn)。

我相信您可以对 AVL 树进行类似的分析。

Answer 4

对不起，他们都错了。

您使用的是用于单次插入的 Big-O。如果你做了 n 个，你就得花上 n 个。

所以正确的数字是：

将n个整数插入：

• AVL 树（最坏情况）：O(log(n) * n)
• AVL 树（最佳情况）：这很难，但我猜它也是 O(log(n) * n)
• 不强制结构属性的二叉搜索树（最佳情况）： O(n) - 1 个项目的最佳案例插入时间实际上是 O(1)
• 不强制结构属性的二叉搜索树（最坏情况）： O(n^2) - 如果你不强制执行结构属性，你可能会得到一个完全不平衡的树，所以在最坏的情况下，你的 n 个元素的树的高度为 n => 你的树会变形为一个列表。

Answer 5

是的，你是对的，如果你把所有的东西都乘以 n。您的运行时间是针对一个元素的。