加权图中的最短路径数

Question

这是一个问题： 给定一个有向图 G=(V,E)，源顶点 s $epsilon V，我们知道 G 中的所有环都是正权重（>0）。在运行 Bellman-Ford 之后，我们也得到了图表，这意味着对于 V 中的每个 v，我们都知道 d[v]（从 s 到 v 的最短路径）和 pi[v]（v 的前任）

描述一个算法来找到V中所有v的从s到v的最短路径数。该算法必须在O(V+E)中运行

*我们无法编辑算法上的 Bellman-Ford 运行

这就是我的想法： 我们运行一个修改后的 DFS，

算法(G,s)：

1.DFS-Visit(G,s)
2. return count[v] foreach v in V

DFS-访问(G,u)：

1.foreach v in Adj[u]
   2.if d[v] == d[u] + w(u,v) && (u,v) is not a backedge
      3.count[v] = count[v] + 1
      4.DFS-visit(G,v)

*算法似乎会陷入无限循环，也许我可以忽略后端？ （因为最短路径总是很简单）

*这不是重复的 How to find the number of different shortest paths between two vertices, in directed graph and with linear-time?

在那个问题中，图在这里是未加权的（边） 你认为这是正确的吗？ 谢谢

Answer 1

if d[v] == d[u] + w(u,v) && (u,v) is not a backedge

条件d[v]==d[u]+w(u,v) 在这里是最重要的。如果保证这永远不是一个后边，而且，它保证你永远不会回到你所在的顶点。

确实，假设您回到了您曾经所在的顶点。然后你有

d[v1]==d[v0]+w(v0,v1)
d[v2]==d[v1]+w(v1,v2)
...
d[v0]==d[vn]+w(vn,v0)

总结一下，我们发现

w(v0,v1)+w(v1,v2)+...+w(vn,v0)==0

这是一个零权重循环，但我们被告知没有这样的循环。

所以这个算法永远不会陷入死循环；此外，如果你只留下满足d[v]==d[u]+w(u,v) 的边（即使图没有被定向），结果图将是无环的。

因此，您可以运行在无环图中找到多种方式的标准算法。事实上这是你已经写的（你的DFS），请注意

count[v] = count[v] + 1

应该是

count[v] = count[v] + count[u]

Answer 2

以问题中描述的方式修改的 DFS（使用已接受答案的更正）允许多次访问节点，并可能导致指数时间算法（有关发生这种情况的图的一般结构，请参见下面的反例)。

如果我们像经典 DFS 一样访问每个节点一次，算法并不总是正确计算最短路径的数量。

反例

7 个节点，8 条边，所有权重均为 1

1 -> 2
1 -> 5
2 -> 3
5 -> 3
3 -> 4
3 -> 6
4 -> 7
6 -> 7

一般结构看起来像这样

  2   4
 / \ / \
1   3   7
 \ / \ /
  5   6

从节点 1 开始运行 Bellman-Ford 后：

d[1] = 0
d[2] = d[5] = 1
d[3] = 2
d[4] = d[6] = 3
d[7] = 4

从节点 1 到节点 7 有 4 种不同的最短路径：

1 2 3 4 7
1 2 3 6 7
1 5 3 4 7
1 5 3 6 7

但是应用 DFS 我们得到：

count[1] = 1
Visiting node 1: count[2] = 1
Visiting node 2: count[3] = 1
Visiting node 3: count[4] = 1
Visiting node 4: count[7] = 1
Visiting node 7: no outgoing arcs
Returning to node 4: no more neighbors
Returning to node 3: count[6] = 1
Visiting node 6: count[7] = 2
Node 7 already visited, so we skip it
Returning to node 6: no more neighbors
Returning to node 3: no more neighbors
Returning to node 2: no more neighbors
Returning to node 1: count[5] = 1
Visiting node 5: count[3] = 2

如果不允许多次访问节点，这就是算法结束的地方，所以 count[7] 将保持为 2，这是不正确的（正确的应该是 4）。如果我们允许多次访问一个节点，运行时间将是 2^n 的数量级。

正确的算法

正如 Petr 的回答所示，最短路径的边形成有向无环图 (DAG)。我们需要对这个 DAG 的节点进行拓扑排序，并按照拓扑顺序对节点应用计数算法。运行时间为O(n + m)：拓扑排序遍历图一次，计数算法遍历一次图。

反例演示的正确算法

One possible topological order: 1 2 5 3 4 6 7
Visiting nodes in this order:
count[1] = 1
Visiting 1: count[2] = 1, count[5] = 1
Visiting 2: count[3] = 1
Visiting 5: count[3] = 2
Visiting 3: count[4] = 2, count[6] = 2
Visiting 4: count[7] = 2
Visiting 6: count[7] = 4