快速算法找出超平面下的点数答案

【问题标题】：Fast algorithm to find out the number of points under hyperplane快速算法找出超平面下的点数
【发布时间】：2012-08-12 16:00:14
【问题描述】：

给定欧几里得空间中的点，是否有一种快速算法来计算一个任意超平面“下”的点数？快意味着时间复杂度低于 O(n)

对点进行预处理或排序的时间还可以

而且，即使不是高维，我也想知道是否存在可以在二维空间中使用的一种

【问题讨论】：

【解决方案1】：

如果您愿意对这些点进行预处理，那么您必须至少访问每个点一次，即 O(n)。如果您考虑将点在哪一侧的测试作为预处理的一部分，那么您将得到一个 O(0) 算法（使用 O(n) 预处理）。所以我认为这个问题没有任何意义。

尽管如此，我会尝试给出一个有用的答案，即使这不是 OP 所要求的。

选择一个超平面单元法线和根点。如果平面以参数形式给出

(P - O).N == 0

那么你已经有了这些，只要确保法线是单元化的。

如果以解析形式给出：Sum(i = 1 to n: a[i] x[i]) + d = 0，那么向量 A = (a1, ... a[n] ) 是平面的法线，N = A/||A||是单位平面法线。平面上的一点O（为原点）为d N。

您可以通过将每个点 P 投影到 N 上来测试每个点 P 在哪一侧添加检查参数的符号：

令 V = P - O。V 是从所选原点 O 到 P 的向量。

设 s N 为projection of V onto N。如果 s 为负数，则 P 在超平面“下方”。

如果你对这个主题不熟悉，你应该去矢量投影的链接，但我会在这里用我的符号进行总结。或者，您可以相信我的话，直接跳到最后的公式。

如果 alpha 是 V 和 N 之间的角度，那么根据余弦的定义，我们有 cos(alpha) = s||N||/||V|| = s/||V||因为 N 是单位法线。但是我们也从向量代数中知道 cos(alpha) = ||V||(V.N)，其中“.”是标量积（又名点积或欧几里得内积）。

将这两个表达式等同于 cos(alpha) 我们有

s = (V.V)(V.N)

（使用 ||V||^2 == V.V 这个事实）。

所以你的处理工作是计算 N 和 O，你的测试是：

bool is_under = (dot(V, V)*dot(V, N) < 0.);

我不相信它可以做得更快。

【讨论】：

【解决方案2】：

设置点值时，使用该点设置的检查条件。然后增加或不增加计数器。 O(n)

【讨论】：

【解决方案3】：

我通过使用分治法和二进制搜索找到了 O(logN) 的二维算法，预处理时间复杂度为 O(N log N)，内存复杂度为 O(N log N)

基本思想是点可以分为左N/2点和右N/2点，线下的点数（2D维度）是线下的左点数之和以及线下正确点的数量。我将把整个点分成“左”和“右”的无限线称为“分界线”。分割线看起来像'x = k'

如果每个'left points'和'right points'都按y轴顺序排序，那么具体点的个数——右下角的点——可以通过二分查找“点数”快速找到其y值小于线与分界线交点的y值。

因此时间复杂度为

T(N) = 2T(N/2) + O(log N)

最后时间复杂度是O(log N)

【讨论】：