C++中直线与线段的交点

Question

以下是C++代码取自CP3，计算通过a和b的线与p和q定义的线segment的交点，假设交叉点存在。有人可以解释它在做什么以及它为什么起作用（几何上）吗？

// line segment p-q intersect with line A-B.
point lineIntersectSeg(point p, point q, point A, point B) {
  double a = B.y - A.y;
  double b = A.x - B.x;
  double c = B.x * A.y - A.x * B.y;
  double u = fabs(a * p.x + b * p.y + c);
  double v = fabs(a * q.x + b * q.y + c);
  return point((p.x * v + q.x * u) / (u+v), (p.y * v + q.y * u) / (u+v));
}

请注意，此解决方案似乎与 here 或 Wikipedia page 中解释的不同，因为此解决方案使用绝对值函数。

我已经扩展了交点 (x, y) 的表达式：

Answer 1

一个很好的起点是了解如何自己找到线交点：https://en.wikipedia.org/wiki/Line%E2%80%93line_intersection

• 线段：y = ax + c
• 行：y = bx + d
• 和 的交集

现在我们只需要根据 p 和 q 和 b 和 来获取 a 和 c >d 在A 和B 方面。

我们知道我们的两个斜坡：

• a = (p.y - q.y) / (p.x - q.x)
• b = (A.y - B.y) / (A.x - B.x)

我倾向于使用Point-Slope Form 来查找 y 截距：

• y -p.y= a(x -p.x) 这将简化为 y = ax - (p.x * q.y - p.y * q.x) / (p.x - q.x)
• y -A.y= a(x -B.x) 这将简化为 y = ax - (A.x * B.y - A.y * B.x) / (A.x - B.x)

因此，如果您允许我将我们的变量混合到数学符号中以便简化更简单，那么我们的交集组件的最终方程是：

一旦分子和分母中的分数合并为一个分数，两者的分母就会被视为(A.x - B.x)(p.x - q.x)，因此可以删除两个分母，得到：