椭圆与直线的交点

Question

用这个函数画一个“圆”，我真的想出了一个椭圆的东西。这是因为我正在使用的格式错误的像素除了使此功能变得必要之外，它们并不真正相关。

local function drawCircle( centerX, centerY, radius, col, solid )
  solid = solid or false
  local isAdvanced = term.isColor and term.isColor()
  local char = isAdvanced and " " or "|"
  if isAdvanced then term.setBackgroundColor( col ) end
  local radStep = 1/(1.5*radius)
  for angle = 1, math.pi+radStep, radStep do
    local pX = math.cos( angle ) * radius * 1.5
    local pY = math.sin( angle ) * radius
    if solid then
        local chord = 2*math.abs(pX)
        term.setCursorPos( centerX - chord/2, centerY - pY )
        write( char:rep( chord ) )
        term.setCursorPos( centerX - chord/2, centerY + pY )
        write( char:rep( chord ) )
    else
        for i=-1,1,2 do
            for j=-1,1,2 do
                term.setCursorPos( centerX + i*pX, centerY + j*pY )
                write( char )
            end
        end
    end
  end
end

现在，我正在制作一款涉及行星（即圆圈）的游戏，但由于限制，我只能以 10 FPS 的速度运行它。我最终在游戏中获得了如此大的加速度，以至于船每 10 秒的移动速度比“圆”的直径更快，所以我正在寻找一种简单（希望是快速）的方法来计算船是否会当它神奇地在 A 点和 B 点之间传送时击中地球。

例如，假设我的船在 75、100，它的动量会使它移动 +80、-50。它最终会是 155、50。在这两点之间是我的星球，但我如何检测它呢？

我用谷歌搜索了一下，但没有想出任何我能理解的东西。我在读 11 年级的数学，只是求解方程组，虽然我也在工程课上，在那里我学习了力向量。

如果有帮助，地球就不会移动。

Answer 1

你有两个方程：

(1) 圆圈：

(k*x)^2 + y^2 = r^2

（“k”挤压图形以形成椭圆形。在您的情况下，k = 2/3。有一个网站“Purple Math”，其中有一章是关于“转换”的。阅读它。）

(2) 行：

a*x + b*y = c

现在，您会注意到，为简单起见，我假设圆的中心位于原点。在您的情况下，它通常不是，因此您只需移动线的起点和终点以匹配它。 （对象在哪里并不重要：重要的是它们相互关联的位置。因此，我们可以根据需要将对象作为一个组向上/向下向右/向左移动。）

所以我们有两个方程。 “解决它们”=“找到它们接触的点”=“碰撞”。所以我们需要解决它们。为了解决它们，您从等式（2）中找到 y 并将其替换为等式（1）。你得到一个只有 x（和 x^2）的方程：

.... x ... x^2 .... = ....

你在 x 上排列（“因子”）这个方程：

x^2(b^2 k^2 + a^2) + x(-2ac) + c^2 - r^2 b^2 = 0

这是一个二次公式。

现在，您要问的是椭圆和直线是否相交（“计算船是否会撞击地球”）。换句话说，你是在问这个方程是否有任何解（你不是在询问解本身）。如果判别式大于/等于零，则有一个解决方案。判别式是“B^2 - 4AC”，其中：

A = b^2 k^2 + a^2
B = -2ac
C = c^2 - r^2 b^2

所以“B^2 - 4AC”是：

4*b^2*(a^2*r^2+b^2*r^2*k^2-k^2*c^2)

就是这样！

这是一个简单的表达。

你知道 b、a、r、k、c，所以你把它们放在那个表达式中，如果它大于/等于零，你就知道有冲突。

如果你不明白我的解释，安装 GeoGebra，然后输入：

k = 0.5
r = 1
circ: (k x)² + y² = r²

a = 5
b = -2.5
c = 4
line: a x + b y = c

dis = 4a² b² r² + 4b⁴ k² r² - 4b² c² k²

现在，制作 k/r/a/b/c 滑块并用鼠标更改它们的值。您会注意到，当发生碰撞时，“dis”（判别式）为负数。

最后，你还剩下要做的事情：

您需要编写一个函数来获取圆和线并判断是否存在碰撞：

function do_collide(
    -- the circle:
    centerX, centerY, radius,
    -- the line:
    x1, y1, x2, y2)

  -- Step 1:
  -- You already know r and k.

  -- Step 2:
  -- Shift the coordinates (x1,x2) and (x2,y2) by (centerX, centerY).
  -- Find the line equation and you have a,b,c.

  -- Step 3:
  return 4*b^2*(a^2*r^2+b^2*r^2*k^2-k^2*c^2) >= 0

end