可以在多项式时间内计算素数计数函数和连续素数的乘积吗？答案

【问题标题】：Can the prime-counting function and product of consecutive primes be calculated in polynomial time?可以在多项式时间内计算素数计数函数和连续素数的乘积吗？
【发布时间】：2016-06-29 16:38:02
【问题描述】：

在我一直使用的两个算法中，我使用了两个函数：

pi(n):=素数个数和
R(n):=r，其中 prod(p_i,i=1,r) 但 n 其中 p_i 是第 i 个素数。

基本上 pi(n) 是著名的素数计数函数，R(n) 只是计算连续素数的乘积，直到到达界限 n 并返回使用的素数数量，例如：

R(12)=2 因为 2*312 和例如

R(100)=3 因为 2*3*5100。

我们一直在和我的教授讨论计算这些函数的运行时间。我知道 pi(n) 会随着时间的推移逼近 x/ln(x)，但我对一些东西有疑问：

可以在多项式时间内计算 R(n) 吗？从我的角度来看，通过使用动态规划，我们可以通过知道 2*3*5*...*p_(i-1) 来计算乘积 2*3*5*...*p_i，因此问题简化为得到下一个素数，据我所知，它可以在多项式时间内计算出来（PRIMES 在 P 中）。
另外，因为我们知道我们可以确定一个数在多项式时间内是否为素数，这不应该意味着 pi(n) 可以在多项式时间内计算吗？（也可以使用动态编程）。

如果有人可以帮助我澄清这些问题或指出正确的方向，我将不胜感激！谢谢！

【问题讨论】：

当你说多项式时，你的意思是数 n 的多项式，还是表示 n 所需的位数？对于像因式分解这样的事情，我们通常指的是位数，这要困难得多。我的期望是 R(n) 是 n 表示大小的多项式，而 phi(n) 将类似于 O(sqrt(n))。

标签： algorithm time-complexity computation-theory space-complexity number-theory

【解决方案1】：

有一些方法可以在亚线性时间内计算 pi(n)。谷歌搜索“legendre phi”或“lehmer 素数计数函数”，或最近的作品“lagarias miller odlyzko prime 计数函数”。 Lehmer 的方法不难编程。我在my blog 讨论它。

【讨论】：

【解决方案2】：

对于任何 n，您可以轻松确定它是否在 O(n^(1/2)) 时间内为素数（检查是否可被 2,3,4...,sqrt(n) 整除），因此您可以遍历 n 并随时保持计数器。如果您将素数存储在列表中，您甚至可以加快检查每个数字是否为素数的速度（检查是否可被 2、3、5 整除...，最接近 sqrt(n) 的素数）。所以这个求pi(n)的算法应该是O(n^(3/2))。

假设您运行该算法并将素数存储在一个列表中。然后对于 R(n)，您可以遍历它们以获得它们的累积乘积，并在超过 n 时返回。我不确定它的时间复杂度是多少，但它会很小。可能类似于 O(log(n))，当然比 O(n) 更快。把这两者放在一起，你应该得到比 O(n^(5/2)) 更快的东西。

【讨论】：