【发布时间】：2015-11-18 14:57:51
【问题描述】：
每个人都知道因式分解很难。但是如果我想计算从 2 到 N 的每个数字的素数分解呢？如果我们已经计算了 [2, n-1] 中每个数的素因数分解，并且如果一个数 n 有一个小的素因数，那么计算 n 的因式分解就很容易，因为大约 73% 的数可以被任何一个整除2、3 或 5。当然，在某些情况下，例如当 n 是大小相似的两个素数的乘积时，仍然很困难，但平均而言，我们可能期望这个问题相当容易，因为我们应该只有找到一个数的一个因式，将我们的问题简化为我们之前解决过的两个问题（即因式分解 d 和 n/d）。
我问是因为我有兴趣找到平方和 r(n) (http://mathworld.wolfram.com/SumofSquaresFunction.html) 的总和，因为 n 的范围从 0 到 N。这会计算圆中整数点的数量。正如在 Wolfram Mathworld 页面上可以看到的，r(n) 有一个根据 n 的素数分解的公式。
到目前为止，我采取了两种方法：
1) 统计满足 x^2 + y^2 = n 的点的个数，其中 0
2) 计算 n 的素数分解（每次独立），并使用此信息计算 r(n)。
在实验上，2) 似乎更快，但与第一种方法相比，它不能很好地扩展，第一种方法速度较慢，但速度并没有那么慢。我有兴趣计算 40 位 N 的 R(N) = r(n) 从 1 到 N 的总和。
另一种选择是使用诸如埃拉托色尼筛法之类的东西来生成直到 N 的所有素数，然后以各种方式组合它们，以计算从 2 到 N 的所有数字的素数分解，并使用相同的公式之前。
有没有人知道这些选项中哪一个最有效？ 1) 是最容易实现的，开始时很慢，但可能会很好地扩展。 2) 开始很快，不能很好地扩展，快速寻找因子肯定更难实现，但如果修改为使用先前分解的记忆，或者使用上面提到的一些素数生成技术，可能会做得很好。
即使 1) 是最快的，我仍然有兴趣学习生成从 0 到 N 的所有素因数分解的最快方法。
【问题讨论】：
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您可以使用改进的筛子来分解您的数字范围。我不知道它是否是最快的，但它绝对很简单。但是存储 10^40 个数字的所有质因数听起来不是一个好主意。
标签： algorithm performance primes prime-factoring