为什么用段树时间复杂度解决范围最小查询是 O(Log n)？

Question

我试图解决如何在给定的数组和两个索引中找到这两个索引之间的最小值 O(Log(n))。 我看到了使用段树的解决方案，但不明白为什么这个解决方案的时间复杂度是 O(Logn)，因为它看起来不像这样，因为如果你的范围不完全在节点的范围内，你需要开始拆分搜索。

Answer 1

第一个证明：

声称在每个级别上最多扩展 2 个节点。我们将通过反证法来证明这一点。

考虑下面给出的分段树。

假设在这棵树中展开了 3 个节点。这意味着范围是从最左边的彩色节点到最右边的彩色节点。但请注意，如果范围扩展到最右边的节点，则中间节点的整个范围都被覆盖了。因此，该节点将立即返回该值并且不会被扩展。因此，我们证明了在每个级别上，我们最多扩展 2 个节点，并且由于存在 logn 级别，因此扩展的节点是 2⋅logn=Θ(logn)。

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第二次证明：

查询区间(x,y)有四种情况

FIND(R,x,y) //R is the node
% Case 1
    if R.first = x and R.last = y   
        return {R}
% Case 2
    if y <= R.middle
        return FIND(R.leftChild, x, y) 
% Case 3
    if x >= R.middle + 1 
        return FIND(R.rightChild, x, y) 
% Case 4
    P = FIND(R.leftChild, x, R.middle)
    Q = FIND(R.rightChild, R.middle + 1, y)    
    return P union Q.

直观地说，前三种情况将树高的级别降低1，因为树的高度为log n，如果只发生前三种情况，则运行时间为O(log n)。

对于最后一种情况，FIND() 将问题分成两个子问题。但是，我们断言这最多只能发生一次。在我们调用 FIND(R.leftChild, x, R.middle) 之后，我们正在查询 R.leftChild 的区间 [x, R.middle]。 R.middle 与 R.leftChild.last 相同。如果 x > R.leftChild.middle，则为案例 1；如果 x

FIND ( R.leftChild.leftChild, x, R.leftChild.middle );
FIND ( R.leftChild.rightChild, R.leftChild.middle + 1, , R.leftChild.last );

但是，第二个 FIND() 返回 R.leftChild.rightChild.sum 并因此需要恒定的时间，并且问题不会分成两个子问题（严格来说，问题是分开的，尽管一个子问题需要 O(1 ) 时间来解决）。

由于同样的分析适用于 R 的 rightChild，我们得出结论，在 case4 第一次发生后，运行时间 T(h)（h 是树的剩余层）将是

T(h) <= T(h-1) + c (c is a constant)
T(1) = c

产生：

T(h) <= c * h = O(h) = O(log n) (since h is the height of the tree)

因此我们结束证明。

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