Python中的泊松统计是否有逆概率质量函数？

Question

我正在寻找泊松统计的逆 pmf。 inverse 我的意思是一个函数inv_pmf(p, k)，它返回分布参数 lambda。为清楚起见，参数使用如下：p = lambda^k / k！ * exp(-lambda)。 谢谢

Answer 1

所以你有概率方程 p(k,λ) = λ^k e^-λ/k!。你知道p 和k 但想知道λ。那么，从 lhs 和 rhs 中获取 log 并得到简单的方程。

log(p) = k*log(λ) - λ - log(k!)

或

λ = k*log(λ) - log(p) - log(G(k+1))，其中G() 是 Gamma 函数，在 Python lib 中可用。您可以绘制 RHS 和 LHS 之间的差异，并看到它可能有多种解决方案。他们使用 Python fsolve 函数，你可以从那个非线性方程中求根。

代码（Python 3.7、Anaconda、Windows 10 x64）

#%%    
import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def logrhs(p, k, λ):
    return k*np.log(λ) - math.log(p) - math.lgamma(k+1)

def poissonPMF(k, λ):
    lp = k*np.log(λ) - λ - math.lgamma(k+1)
    return np.exp(lp)

p = 0.2
k = 3.0

λλ = np.linspace(0.001, 10.0, 101)

#%%    
rhs = logrhs(p, k, λλ)
lhs = np.copy(λλ)

pmf = poissonPMF(k, λλ)

plt.plot(λλ, lhs - rhs, 'r')
plt.plot(λλ, pmf, 'g')
plt.show()

# %%
from scipy.optimize import fsolve

def f(x):
    return x - logrhs(p, k, x)

starting_guess = 4.0
λ = fsolve(f, starting_guess)
print((λ, poissonPMF(k, λ)))

starting_guess = 1.9
λ = fsolve(f, starting_guess)
print((λ, poissonPMF(k, λ)))

例如，我使用 k=3 和 p=0.2 进行测试。对我来说，它打印两个根

(array([3.90263215]), array([0.2]))
(array([2.24859448]), array([0.2]))

并验证确实概率等于 0.2。图表显示红线在两个地方穿过 0