Sympy 的潜艇限制

Question

我正在处理一些长方程，但不是很复杂，我想使用 sympy 来简化和“分解”它们。但是我遇到了一些问题。以下是一些最小示例的列表：

问题1：对称性

from sympy import *
from __future__ import division
a = symbols('a')
b = symbols('b')
expr = 1/12*b + 1
expr.subs(1/12*b, a)
expr.subs(b*1/12, a)

第一行给出了预期的结果（即a+1），而第二行没有替换。

问题 2：因式分解

表达式的某些部分被分解，当我扩展表达式时，它们会被简化，因此无法进行替换。例如

(((x+1)**2-x).expand()).subs(x**2+2*x, y+1)

会给x^2+x+1，我要找的是y+2-x。

问题

有没有办法解决这些问题？或者也许我应该使用另一个符号数学工具？欢迎提出任何建议。

Answer 1

SymPy 中有一个主要问题，那就是，由于 Python 的工作方式，number/number 给出了一个浮点数（或者如果您使用 Python 2 而不是 from __future__ import division，则进行整数除法）。

在第一种情况下，在您的原始表达式中，Python 从左到右计算 1/12*b。 1/12 由 Python 计算得到 0.08333333333333333，然后乘以 b。在第二种情况下，b*1 被评估为b。然后 b/12 由 SymPy 评估（因为 b 是一个 SymPy 对象），得到 Rational(1, 12)*b。

由于浮点数的不精确性，SymPy 不认为浮点数 0.08333333333333333 等于有理数 1/12。

关于这个问题的更多讨论here。作为一种解决方法，您应该避免直接使用 integer/integer 而不以某种方式包装它，以便 SymPy 可以创建一个理性的。以下都将创建一个理性：

b/12
Rational(1, 12)*b
S(1)/12*b

---

对于(((x+1)**2-x).expand()).subs(x**2+2*x, y+1)，问题在于x**2 + 2*x 没有完全出现在表达式中，即x**2 + x + 1。 SymPy 通常只替换它准确看到的东西。

您似乎不介意添加和减去 x 来进行替换。所以我建议改为(((x+1)**2-x).expand()).subs(x**2, y+1 - 2*x)。通过仅替换单个术语 (x**2)，替换将始终有效，并且 2*x 将取消以保留任何 x 术语剩余（在本例中为 -x）。

Answer 2

以下是解决问题的可能方法：

from sympy import *

a = symbols('a')
b = symbols('b')
expr = 1 / 12 * b + 1
print(expr.subs((1 / 12) * b, a))
print(expr.subs(b * (1 / 12), a))

x = symbols('x')
y = symbols('y')
expr = ((x + 1)**2 - x).expand()
print(expr.subs(x**2 + x, y - x + 1))

Answer 3

关于问题 1，请注意 1/12*b 和 b*1/12 在 sympy 中不是相同的东西。第一个是一个浮点数乘以一个符号，而第二个是一个精确的符号表达式（你可以通过一个简单的 print 语句来检查它）。由于expr 包含1/12*b，因此第二个subs 不起作用也就不足为奇了。

关于问题 2，您提供的 subs 规则不明确。特别是替换规则意味着方程x**2+2*x==y+1。然而，这个方程有很多解释，例如，

x**2 == y + 1 - 2*x（这是你考虑的那个），

x**2 + x == y + 1 - x,

x == (y + 1 - x**2)/2,

出于这个原因，我认为 sympy 拒绝执行替换实际上是一种正确的方法。

如果是你想要的第一个解释，最好在subs规则中明确提供，即

(((x+1)**2-x).expand()).subs(x**2, -2*x + y + 1)

-x + y + 2