MATLAB - 牛顿法但错误消息“奇异矩阵”

Question

当我使用牛顿法求方程组的根时，我收到以下错误消息：

“警告：矩阵接近奇异或缩放错误。结果可能不准确。RCOND = 1.625479e-33。> 在新的（第 16 行）”

任何想法为什么我会收到此错误消息？我知道奇异矩阵和逆矩阵，但这真的与它有什么关系吗？如果是这样，怎么做？我可以对代码产生什么影响？它显示第 16 行，即dx = -J\f;。但我只是跟随我的数值方法教科书。肯定有问题，但练习说“使​​用牛顿法”，所以我想这应该可行。我希望有人可以帮助我。

x = [0 0 pi/2]';
maxiter = 10;
iter = 0;
dxnorm = 1;
results = cell(maxiter + 1, 2); % Preallocate results array

while dxnorm > 0.5e-4 && iter <= maxiter
    f = [cos(x(1)) + cos(x(2))    + cos(x(3))-2; ...
         sin(x(1)) + sin(x(2))    + sin(x(3)); ...
         tan(x(1)) - 2.*tan(x(2)) + tan(x(3)); ...
         ];
    J = [-sin(x(1)),       -sin(x(2)),          -sin(x(3)); ...
         cos(x(1)),        cos(x(2)),           cos(x(3)); ...
         tan(x(1)).^2 + 1, -2*tan(x(2)).^2 - 2, tan(x(3)).^2 + 1 ...
         ];
    dx = -J\f;
    results{iter + 1, 1} = x;
    x = x + dx;
    dxnorm = norm(dx,inf);
    results{iter + 1, 2} = dxnorm;
    iter = iter + 1;
end
x, iter

Answer 1

x(3) = pi/2 的初始条件导致 f 的第三个条目变为无限，因为 tan(pi/2) = sin(pi/2)/cos(pi/2) = inf，除了它不是因为浮点不精确、pi 中的不精确等而非常无限...因此，您只会得到一个非常大的数字。

现在你有非常大的数字和非常小的数字，基本上一切都得到了！@#$ed。您的雅可比矩阵缩放严重等等......

爆炸的线性方程是：

[0,    0,   -1                                       [x1      [0
 1,    1,    0                                    *   x2   =   1
 1,   -2,   266709378811357100000000000000000 ]       x3]      16331239353195370]

这些是数值求解线性系统的 !@#$ed 条件。

你应该怎么做？

从理智的地方开始。例如。从初始条件[0,0,pi/4] 开始，一切都可能正常。

一些初始条件也会触发导数为零的多元等价物（这也会使牛顿法失效）。