Python中的离散傅里叶变换答案

【问题标题】：Discrete Fourier Transform in PythonPython中的离散傅里叶变换
【发布时间】：2017-10-27 15:50:08
【问题描述】：

我需要在 Python 中使用离散傅里叶变换 (DFT)（和逆 DFT），我得到的结果有点奇怪，所以我尝试了一个小例子，但我不确定我是否理解错误（如果是数学或编码）。这是我的小版本代码：

from __future__ import division
import numpy as np
from pylab import *

pi = np.pi

def f(x):
    return sin(x)

theta = np.arange(0,2*pi,2*pi/4)
k = np.arange(0,4,1)

x = f(theta)
y = np.fft.fft(x)

derivative = np.fft.ifft(1j*k*y) 
print(derivative)

所以我要做的是在 0 到 2pi 之间的 4 个不同点对 sin 进行采样，并用这些数字创建一个向量 x。然后我取 x 的 DFT 得到 y。我想要的是在选定的点上得到 sin 的导数，所以要做到这一点，我将 y 乘以 k（波数，在这种情况下为 0、1、2、3）和我的虚数 1j（这是因为在傅里叶和中，我对每个术语都有一些形式为 e^{ikx})。所以最后我取 1jky 的逆 DFT，我应该得到 sin 的导数。但我得到的是这个。

[ -1.00000000e+00 -6.12323400e-17j  -6.12323400e-17 +2.00000000e+00j
   1.00000000e+00 +1.83697020e-16j   6.12323400e-17 -2.00000000e+00j]

当我应该得到这个时

[1,0,-1,0]

忽略舍入错误。有人可以告诉我我做错了什么吗？谢谢！

【问题讨论】：

标签： python fft

【解决方案1】：

如果逆 FFT 要产生结果，频谱的操作必须保持这种 Hermitian 对称性。因此，频域中的导数算子被定义在频谱的下半部分，而频谱的上半部分则由对称构成。请注意，对于偶数大小的频谱，恰好在N/2 处的值必须是其自身的对称性，因此必须有一个虚部为 0。下面说明如何构造这个导数算子：

N = len(y)
if N%2:
  derivative_operator = np.concatenate((np.arange(0,N/2,1),[0],np.arange(-N/2+1,0,1)))*1j
else:
  derivative_operator = np.concatenate((np.arange(0,N/2,1),np.arange(-N//2+1,0,1)))*1j

您将在频域中使用此derivative_operator，如下所示：

derivative = np.fft.ifft(derivative_operator*y)

在您的示例案例中，您应该得到以下结果

[  1.00000000e+00+0.j   6.12323400e-17+0.j  
  -1.00000000e+00+0.j  -6.12323400e-17+0.j]

这在您预期的[1,0,-1,0] 的舍入误差范围内。

【讨论】：