如何使用 1D 卷积完成 2D 卷积？

Question

假设，

u = [1 2 1 3 ; 1 2 1 3 ; 1 2 1 3];
v = [2 0 1 ; 2 0 1 ; 2 0 1];

我要实现

w = conv2(u, v);    % [2 4 3 8 1 3 ; 4 8 6 16 2 6 ; 6 12 9 24 3 9 ; 4 8 6 16 2 6 ; 2 4 3 8 1 3]

而且，假设我不想使用conv2()。

使用 Matlab，我发现，

w1 = conv([1 2 1 3], [2 0 1])   % [2 4 3 8 1 3]
w2 = conv([1 2 1 3], [2 0 1])   % [2 4 3 8 1 3]
w3 = conv([1 2 1 3], [2 0 1])   % [2 4 3 8 1 3]

所以，我们得到：

w123 = [w1 ; w2 ; w3]           % [2 4 3 8 1 3 ; 2 4 3 8 1 3 ; 2 4 3 8 1 3];

使用Matlab，我也发现，

x = [2 ; 2 ; 2]
y = [1 ; 1 ; 1]
z = conv(x, y); % [2 ; 4 ; 6 ; 4 ; 2];

x = [4 ; 4 ; 4]
y = [1 ; 1 ; 1]
z = conv(x, y); % [4 ; 8 ; 12 ; 8 ; 4];

x = [3 ; 3 ; 3]
y = [1 ; 1 ; 1]
z = conv(x, y); % [3 ; 6 ; 9 ; 6 ; 3];

x = [8 ; 8 ; 8]
y = [1 ; 1 ; 1]
z = conv(x, y); % [8 ; 16 ; 24 ; 16 ; 8];

x = [1 ; 1 ; 1]
y = [1 ; 1 ; 1]
z = conv(x, y); % [1 ; 2 ; 3 ; 2 ; 1];

x = [3 ; 3 ; 3]
y = [1 ; 1 ; 1]
z = conv(x, y); % [3 ; 6 ; 9 ; 6 ; 3];

也就是说，如果我们用内核[2 0 1]对u的每一行进行一维卷积，然后用内核[1; 1; 1]对每一列进行一维卷积，我们得到：

2  4  3  8  1  3
4  8  6 16  2  6
6 12  9 24  3  9
4  8  6 16  2  6
2  4  3  8  1  3

那么，我的问题是，这个[1 ; 1 ; 1] 来自哪里？

而且，最重要的是，如果行不同会怎样？

Answer 1

你的一维卷积结合起来给你与二维卷积相同的结果的原因是你的过滤器是separable。 Steve Eddins 在他的 MATLAB 博客 here 上讨论了可分离卷积。

您的过滤器是可分离的，因为：

[1;1;1] * [2,0,1] = 

   2   0   1
   2   0   1
   2   0   1

但一般来说，并非所有 2D 过滤器都是可分离的，只有那些可以变成单独的 1D 卷积的过滤器。

Answer 2

我想是因为您的矩阵 v 是同一行 3 次。因此，您可以简单地在列上使用带有[1 1 1] 的第二次卷积