使用可分离属性的 1D 卷积进行 2D 卷积

Question

我正在编写一个程序，我在其中进行了大量的 2D 卷积。所以我认为更有效的方法可能是使用一维卷积。但我似乎坚持这一点。

到目前为止，我已经提到了这个链接：

检查这个 1) http://blogs.mathworks.com/steve/2006/10/04/separable-convolution/

检查这个 2) http://blogs.mathworks.com/steve/2006/11/28/separable-convolution-part-2/

我有一个大小为 5X5 的高斯核 (K)。我需要将此核函数与图像进行卷积。我的图像尺寸强制为 4000X4000。我在下面给出程序：

clc;clear all;close all;
imgID = 5;
Img = imread([num2str(imgID),'.bmp']);
Img = double(Img(:,:,1));
Img = imresize(Img,[4000 4000]);

sigma=3.0;   
K=fspecial('gaussian',round(2*sigma)*2+1,sigma);     % the Gaussian kernel

%%
%//Trying to use 1D convolution instead of using 2D convolution
[U,S,V] = svd(K);
K1 = U(:,1) * sqrt(S(1,1));
K2 = V(:,1)' * sqrt(S(1,1));

%%
tic
KI=conv2(Img,K,'same');
toc

tic
KI1 = imfilter(Img,K1,'conv');                            
KI1 = imfilter(KI1,K2,'conv');
toc


tic
KI2 = imfilter(Img,K,'conv');
toc

tic
KI3 = conv2(K1,K2,Img,'same');
toc

我检查了矩阵 K 的秩。它确实是 1，所以它确实是一个可分离向量，可以表示为两个一维向量的外积。这里的一维向量称为 K1 和 K2。然后我对其进行计时以了解哪种方法更快？结果如下图：

%//1st method

Elapsed time is 0.375002 seconds.

%//2nd method

Elapsed time is 1.601285 seconds.

%//3rd method

Elapsed time is 1.884165 seconds.

%//4th method

Elapsed time is 0.315134 seconds.

如你们所见，第一种方法最快，而第三种方法也很快。第三种和第二种方法的误差也非常低，大约为 e-14，但与使用 conv2 的第一种方法相比，这两种方法都非常慢。

你们能告诉我为什么涉及一维卷积的方法最慢吗？

提前感谢大家！！

编辑：请看我的第四个方法！！

Answer 1

第二种方法的结果不是KI1*KI2，而是KI2。请注意，KI2 已经被卷积了两次。如果你用第二种方法计算KI- KI2，你会得到一个小错误。

至于速度，我有这些cmets：

• 第二种方法中的KI - KI2 行和第三种方法中的KI - KI3 行会减慢速度，不应将其包括在比较中。只需删除它们。
• 在方法二中，重用变量KI1，而不是定义一个新的KI2：即用KI1 = imfilter(KI1,K2,'conv');替换KI2 = imfilter(KI1,K2,'conv');。这可能会减少花在内存分配上的时间。
• 您的Img 矩阵非常小。对于较大的矩阵，第二种方法最快。

使用 4000 乘以 4000 Img 矩阵，并应用其他更改，我分别得到：

Elapsed time is 4.924468 seconds.
Elapsed time is 0.793251 seconds.
Elapsed time is 0.854416 seconds.