如何确定这段代码的时间复杂度？答案

【问题标题】：How to determine time complexity of this code?如何确定这段代码的时间复杂度？
【发布时间】：2017-02-09 15:55:44
【问题描述】：

我刚刚开始学习算法，

int findMinPath(vector<vector<int> > &V, int r, int c){
    int R = V.size();
    int C = V[0].size();
    if (r >= R || c >= C) return 100000000; // Infinity
    if (r == R - 1 && c == C - 1) return 0;
    return V[r][c] + min(findMinPath(V, r + 1, c), findMinPath(V, r, c + 1));
}

我认为答案应该是 O(RC) 但正确答案是 O(2^(RC)) 我不明白为什么。请解释一下。

【问题讨论】：

它是双重递归的。如果将调用映射为图形，则会得到二叉调用树。不过，该算法对我来说没有意义。
嗯。不是 O((C+R) 选择 C)，因为代码本质上是枚举从 (0,0) 到 (C,R) 的路径。 ?我认为这是 O(2^(RC)) ，但这是一个非常糟糕的上限。例如，当R=C时，(C+R)选择C约为4^R/sqrt(pi*R)，比2^(R^2)增长慢很多。
也许问题中有一个错字：O(2^(R+C)) 而不是 O(2^(RC))？搜索树的深度最多为 R+C，因此 2^(R+C) 是复杂度的合理第一近似值。当然是 R+C=O(RC)，所以这个问题在理论上也是正确的，但没有多大实际意义（至少对我来说）。
@Cheersandhth.-Alf 该算法是有意义的——它找到了从 (0,0) 到 (R,C) 的最低成本路径，其中所有步骤都正确或向上。当然，这不是编写代码的最佳方式，但我认为这是开始的“糟糕”算法，将通过动态编程加以改进。
哦，V[0].size() 让我失望了。但显然它是一个表示为向量向量的矩阵，而不是一般的锯齿状数组。所以，列和行。嗯。好的。

标签： c++ algorithm time-complexity

【解决方案1】：

当您有多个递归调用时，一个很好的近似值是分支（调用）的数量提升到“树”高度的幂。

在你的情况下，你有两个分支：

findMinPath(V, r+1, c) 
findMinPath(V, r, c+1)

所以我们将从 2 开始。

那么“树”的高度（或深度）取决于向量中有多少元素；在您的情况下，您有 R 元素，但每个元素中都有 C 元素。所以我们的力量是RC。

因此，您的运行时间将接近，在最坏的情况下为 O(2^RC)。

【讨论】：

树的最大深度是 R+C 而不是 RC 不是吗？到(R,C)的初始距离为R+C，每次递归调用距离减1。
@PaulHankin 我认为这是因为在最坏的情况下 RC 将遍历所有元素，因此正如 Cruiser 解释的那样，它应该是 2^(RC)
在最坏的情况下，在单个路径中，遍历的是 R+C（或者可能是 R+C-2，但这对复杂性没有影响）元素，而不是 RC 元素。向量中有 RC 元素，但您在网格中的搜索路径的步长仅在 (+1, 0) 和 (0, +1) 方向。

【解决方案2】：

最坏的情况，findMinPath 在这行调用自己两次

return V[r][c] + min(findMinPath(V, r + 1, c), findMinPath(V, r, c + 1));

因此，最坏的情况是，每次调用都将涉及两个进一步的调用，直到递归结束。因此，二次幂。

【讨论】：

为什么是 2^(RC) 而不是，例如 2^(R+C)。由于 R+C 是搜索树的最大深度。