确定代码段的时间复杂度

Question

以下每个代码段的时间复杂度是多少？

1. int i, j, y=0, s=0;
for ( j = 1; j <= n; j ++) 
{
  y=y+j;
}
for ( i = 1; i <= y; i ++) 
{
  s++;
}

我的答案是 O(2n)，因为它遍历每个循环 n 次并且有两个循环

2. function (n) {
  while (n > 1) {
  n = n/3 ;
}

我对此的回答是 n^(1/3)，因为 n 每次都会变成它的三分之一

3. function (n) {
int i, j, k ;
for ( i = n/2; i <= n; i ++ ) {   //n/2?
  for ( j = 1; j <= n; j = 2*j ) {  //logn
    for ( k = 1; k <= n; k = 2*k ) {  //logn
      cout << ”COSC 2437.201, 301” << endl;
    }
  }
}
}  

我说这个问题的答案是 O(log2*log2n*n/2) 但我对第一个 for 循环感到很困惑。循环只需要迭代 n 次的一半，所以它是 n/2 正确的吗？谢谢大家的帮助。

Answer 1

问题 1

第一个循环是O(n)，因为它运行n 次。 然而，第二个循环执行y 次，而不是n - 所以总运行时间不是“2n”

在第一个循环结束时，y 的值为：

因此第二个循环占主导地位，因为它是O(n^2)，因此也是整体复杂度。

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问题 3

这个答案是正确的（但同样，在 O 表示法中删除 2 的因子）。

但是，您必须小心不要天真地将循环的复杂性相乘，因为内部循环的边界可能取决于外部循环的自发值。

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问题 2

这不是O(n^(1/3))！你的推理是错误的。

如果仔细观察这个循环，它实际上类似于问题 3 中的内部循环的 reverse：

• 在第三季度，k 的值从 1 开始，每次乘以 2，直到达到 n
• 在第二季度，n 的值每次除以 3，直到达到 1。

因此他们都采取O(log n) 步骤。

（顺便说一句，O(n^(1/3)) 循环看起来像这样：）

for (int i = 1; i*i*i <= n; i++)
   /* ... */