卡尔曼滤波器（一维）：几种方法？

Question

我试图了解卡尔曼滤波器的工作原理，因为多维变体在开始时太令人困惑，所以我从一维示例开始。

我找到了 3 个不同的来源来解释温度计的场景，但所有这些场景都实现了略微不同的方程式，我不明白这一点。

我实施了解决方案 2，但我的卡尔曼滤波器并没有真正起作用（它高度适应了测量，并未真正考虑其上的噪声）。

所以，在我浪费更多时间尝试解决方案 1 或 3（我直到现在才读到）之前：有人可以为一维卡尔曼滤波器提供一个清晰的解释和/或代码示例吗？

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解决方案 1

// x_est: current estimate;           p: current estimate error;
// a:     constant of the system;    kg: kalman gain
// z:     current observation; 

// Predict
x_est   =   a * x_est
p       =   a * p * a

// Update
kg      =   p  / (p  + r)
x_est   =   x_est + kg * (z - x_est)
p       =   (1 - kg) * p

作者（此处）仅解释说我们只更改当前值，因为不需要温度计来考虑最后一个值。

于是他简化了：

p[k] = (1 - kg) * p[k-1] 到 p = (1 - kg) * p

x_est[k] = x_est[k-1] + kg * (z - x_est[k-1]) 到 x_est = x_est + kg * (z - x_est)

...等等...

我不明白为什么这是可能的。我认为卡尔曼滤波器的主要部分之一是考虑当前观察 z 是否有用（通过卡尔曼增益）。因此，对于高卡尔曼增益kg * (z - x_est[k-1])，增量z - x_est[k-1] 的“大块”被添加到新估计中。如果总是计算当前值，这整件事不是变得毫无意义吗？

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解决方案 2

# q: process variance / process noise
# r: error in measurement

x_est = x_est
p     = p + q;

k     = p / (p + r);
x_est = x_est + k * (z – x_est);
p     = (1 – k) * p;

这几乎是一样的，但是作者甚至没有解释为什么 x[k-1] 和 p[k-1] 可以改变到 x 和 p。

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解决方案 3

# Q: process variance / process noise
# R: error in measurement

# prediction
x_est_kminus1[k] = x_est[k - 1]
p_kminus1[k]        = p[k - 1] + Q

# update
kg[k]     = p_kminus1[k] / (p_kminus1[k] + R)
x_est[k] = x_est_kminus1[k] + kg[k] * (z[k] - x_est_kminus1[k])
p[k]     = (1 - kg[k]) * p_kminus1[k]

在此解决方案中，作者为x_est（x_est 本身和x_est_kminus1）和p（p 本身和p_kminus1）提供了两个不同的列表。

是否需要两个列表，否则 p[k] 将被计算两次（在预测和更新步骤中）？

Answer 1

所有这些解都是一般方程的特殊情况，我们必须看看每个解有什么特别之处。

适当的方程式

让我们从一维情况的适当一般方程开始：

# prediction
x[k] = a * x[k - 1]
p[k] = a * p[k - 1] * a + q
# update
y = z - h * x[k]
kg = p * h / (h * p * h + r)
x[k] = x[k] + kg * y
p[k] = (1 - kg * h) * p[k]

• x - 状态
• p - 错误（协方差）
• a - 状态转换
• q - 转换错误
• z - 测量
• h - 状态到测量值的转换
• y - 我们根据预测预期测量的值与我们实际测量的值之间的差异
• kg - 卡尔曼增益
• r - 测量错误

模型的所有参数（a、q、r、h）原则上也可以有一个索引k，并随着系统的发展而变化。但在简单的情况下，它们都可以视为常数。

解与正确方程有何不同

只有解决方案 1 实现了 a，这很好。 a 告诉您状态如何从一个步骤变化到另一个步骤，如果您假设温度是静止的，那么 a == 1，就像在解决方案 2 和 3 中一样。

解决方案 1 没有 q。 q 是我们可以估计过程错误的地方。同样，如果该过程是关于系统静止的（a == 1），那么我们可以设置q = 0。

您的解决方案都没有h，这是观察转换（如何从测量到状态）。如果您正在估计温度，则基于温度测量值然后h = 1。

h 可能与 1 不同的一个示例是，如果您测量的不是您感兴趣的估计值，例如使用湿度测量来估计温度。那么h 将是线性 变换T(humidity) = h * humidity。我强调线性，因为上面是线性卡尔曼滤波器方程，它们只适用于线性（在数学意义上）系统。

当前和上一步问题

k 与 k - 1 以及 x_est 和 x_est_kminus1 的问题纯粹是实施问题。在这方面，您的所有解决方案都是相同的。

您在解决方案 1 中对 k 和 k - 1 的想法已关闭。只有预测阶段需要考虑当前和上一步（因为它是基于上一步对当前状态的预测），而不是更新步骤。更新步骤作用于预测。

从可读性的角度来看，解决方案 3 最接近数学方程。原则上，预测步骤并没有给我们x_est[k]，而是更像predicted_x_est[k]。然后更新步骤在这个predicted_x_est[k] 上运行，并为我们提供我们实际的x_est[k]。

但是，正如我所说，所有实现都是等效的，因为当它们被编程时，您可以看到在预测步骤之后，不再需要过去。因此，您可以安全地为 p 和 x 使用一个变量，而无需保留列表。

关于卡尔曼增益

你写道：

所以对于高卡尔曼增益 kg * (z - x_est[k-1]) 一个“大块” delta z - x_est[k-1] 被添加到新的估计中。这不是全 事情变得毫无意义，如果总是计算当前值？

在这些情况下，卡尔曼增益只能在 0 和 1 之间。什么时候最大？当r（测量误差）为0时，这意味着我们无限信任我们的测量。然后等式简化为

x_est = x_est + z - x_est

这意味着我们丢弃我们的预测值（右侧的x_est）并将我们更新的估计设置为等于我们的测量值。当我们无限信任我们测量的东西时，这是一件有效的事情。

适应测量

我实施了解决方案 2，但我的卡尔曼滤波器并没有真正工作（它 高度适应测量，并没有真正考虑 噪音）。

调整卡尔曼滤波器很棘手，需要深入了解系统并正确估计 q 和 r。请记住，q 是过程（状态演化）的错误，r 是我们测量的错误。如果您的卡尔曼滤波器过度适应测量结果，则意味着：

• q 太大
• r 太小了

或两者的组合。您必须使用这些值才能找到有效的值。