多重背包/装箱算法

Question

问题如下：

你有一个包含 n 个对象的堆栈，每个对象的体积为 Vi。你也有 k 个盒子，它们都有一个固定的体积 V。对于堆栈顶部的每个对象，如果该对象适合当前的盒子，你必须在将它放入盒子和移动到下一个对象之间做出选择，或关闭此框并跳至下一个框。

每个盒子的成本定义为盒子里剩下的体积的平方。

您的目标是将所有对象放入盒子中，并最小化所有盒子成本的总和。

我应该使用什么算法（我在想一些图表）？

Answer 1

这可以通过动态规划来解决。

状态可以是（满箱数，取走物数）。

函数是达到这种状态的最小总成本。

可以如下进行转换。 让我们从状态(box, obj) 开始，当我们已经知道实现它的最佳方法时，成本为f[box][obj]。 取对象编号obj+1、obj+2、...，直到它们的体积总和v[i]超过盒子容量V。

在获取每个新对象i之后，如果我们关闭当前框会发生什么？ 我们已经达到状态(box + 1, i)，成本是f[box][obj]加上（V减去体积之和v[obj+1]、v[obj+2]、...、v[i]）的平方。 如果这是迄今为止实现(box+1, i) 状态的最佳方式，请将其分配给f[box+1][i]。

基地是f[0][0] = 0。

答案是f[k][n]，其中k 是盒子的数量，n 是对象的数量。

在伪代码中：

f = array [0..k] [0..n] of integers
fill f[][] with infinity
f[0][0] = 0
for box = 0, 1, ..., k-1:
    for obj = 0, 1, ..., n:
        if f[box][obj] < infinity:
            left = V
            f[box+1][obj] = min (f[box+1][obj], f[box][obj] + V*V)
            for i = obj+1, obj+2, ..., n:
                left -= v[i]
                if left < 0:
                    break
                f[box+1][i] = min (f[box+1][i], f[box][obj] + left*left)
answer = f[k][n]