我正在尝试解决一个问题（在 php 中，但编程语言无关紧要）。 我有 n 人已付款，我有 m 人将支付与n 人已付款。 我想计算这些人之间的最短汇款路线。可以拆分付款并支付给不同的人。 理想的情况是一个人只进行一两次交易。 有人可以指出我正确的方向或帮助我吗？
一个例子： A 人支付了 100 美元
B 支付了 200 美元
C 人支付了 50 美元
人 D 将支付 24 美元
个人 E 将支付 175 美元
F 人将支付 151 美元
一个可能的解决方案是
E 人向 A 人支付 100 美元，
E 人向 B 人支付 75 美元，
F 向 B 支付 125 美元，
F 向 C 支付 26 美元
D 向 C 支付 24 美元
【问题讨论】：
标签： php algorithm optimization knapsack-problem bin-packing
理论上，这可以被视为一个优化问题：
基本上，我们将建立一组约束来枚举您的问题的结构，播种初始值，并确保我们按照您的指示分配所有资金。
初始条件约束：
A_paid = 100
B_paid = 200
C_paid = 50
D_out = 24
E_out = 175
F_out = 151
支付的金额不能超过可用的金额：（我们将D_to_A定义为一个变量，保存从D支付给A的金额）
D_out >= D_to_A + D_to_B + D_to_C
E_out >= E_to_A + E_to_B + E_to_C
F_out >= F_to_A + F_to_B + F_to_C
支付给每个人的金额必须等于他们已经支付的金额：
A_paid = D_to_A + E_to_A + F_to_A
B_paid = D_to_B + E_to_B + F_to_B
C_paid = D_to_C + E_to_C + F_to_C
如果我们现在停下来并以线性程序的形式解决这个问题，我们会找到跨越整个变量空间的任何解决方案，但您希望最大限度地减少实际支付的数量。我们可以通过最小化所有X_to_Y 变量来实现这一点，以符合上述约束。
min: D_to_A + D_to_B + D_to_C + ...
你可以使用你最喜欢的优化技术来解决这个问题，有很多可用的线性规划求解器，我喜欢lpsolve。
虽然这解决了您描述的特定示例，但很容易看出如何通过添加更多变量将其扩展到更大的问题......但是随着人员的增加，问题的复杂性会大大增加。如果我没记错的话，背包问题是 NP 或 NP 难题，所以这并不意外。
【讨论】：
A_paid + B_paid + C_paid，是一个不能通过调整解变量来最小化的常数。