带有多个袋子和只有重量的物品的背包

Question

我正在尝试解决这个问题，我想知道是否有已知的现有算法/解决方案可以解决这个问题。

问题：

我有 n 个袋子和 n 件物品（重量相同或不同）要装进这些袋子。这些袋子中的每一个都有一定的重量限制，并且需要将 n 件物品放入这些袋子中，以便我可以使用每个袋子中的最大空间。

袋子大小相同。也想知道如何解决大小不等的袋子。

我阅读的大多数解决方案都是试图解决一个 0/​​1 背包的重量和价值。我应该认为重量和价值相同吗？我在正确的轨道上吗？

这不是作业问题。

Answer 1

这被称为the bin packing problem（NP-hard）。

通过简单地按它们的大小降序排序，然后将每个项目插入到列表中具有足够剩余空间的第一个 bin 中，我们得到 11/9 OPT + 6/9 bins（其中OPT 是优化中使用的 bin 数量解决方案）。这很容易采用O(n²)，或者可能是O(n log n)，并具有有效的实现。

就最佳解决方案而言，没有像背包问题那样广为人知的动态规划解决方案。 This resource 有一个选择 - 基本思想是：

D[{set}] = the minimum number of bags using each of the items in {set}

Then:

D[{set1}] = the minimum of all D[{set1} - {set2}] where set2 fits into 1 bag
                                                  and is a subset of set1

上面的数组索引实际上是一个集合 - 将其视为集合到值的映射、位图或多维数组，其中每个索引为 1 或 0，以指示我们是否包含对应于该维度的项与否。

链接的资源实际上考虑了多种类型，可能会出现多次 - 我从中得出了上述解决方案。

运行时间很大程度上取决于可装入袋子的物品数量 - 将是O(minimumBagsUsed.2<sup>maxItemsPerBag</sup>)。

在 1 个包的情况下，这基本上是 the subset sum problem。为此，您可以将权重与值视为相同，并使用背包算法求解，但这对于多个袋子来说效果不太好。

为什么不呢？考虑袋子大小为16 的物品5,5,5,9,9,9。如果您只求解子集总和，那么您将在一个袋子中留下5,5,5，在每个袋子中留下9（总共4 袋子），而不是在三个袋子中的每个袋子中留下5,9。

子集和/背包已经是一个难题——如果使用它不会给你一个最优的解决方案，你不妨使用上面的排序/贪婪方法。