带有互斥物品的背包

Question

虽然标准的背包问题可以通过动态编程来解决，但我试图稍微扭曲一下这个问题以澄清我的概念，但我发现它可能比我想象的要难。

原来的背包问题是给定一个大小为W的背包，以及一个重量为w[i]且值为v[i]的物品的列表，找到总价值最高的背包中的物品子集.

据我了解，这可以通过O(Wn) 使用动态编程来完成，其中n 是项目数。

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现在，如果我尝试添加m 约束，它们中的每一个都是一对只能相互独占挑选的物品（即，如果存在物品 A 和物品 B 的约束，那么我只能取其中一个其中但不是两者）

在这样的约束下，O(Wn)中的动态规划还能解决这个问题吗？

Answer 1

假设：每个元素最多包含一个约束。

对于通常的背包问题，问题表现出的最优子结构如下：

每个项目可以有两种情况：
1.该项目包含在解决方案中
2. 未包含在解决方案中的项目。

因此，n 项目的最佳解决方案由以下两个值的最大值给出。
1.n-1物品和W重量得到的最大值。
2.v_n+n-1物品和W-w_n权重得到的最大值。

现在，如果我们添加nth 或(n-1)th 项可以存在于解决方案中的约束，则n 项的最佳解决方案由以下三个值的最大值给出。
1.n-2物品和W重量得到的最大值。
2.v_n+n-2项和W-w_n权重得到的最大值。
3.v_(n-1)+n-2物品和W-w_(n-1)权重得到的最大值。

因此我们将约束中的每一对元素视为一个元素，并在O(Wn)时间执行动态规划算法。