如何从向量计算正交平面

Question

我在空间中有一个名为 X1 的位置。 X1 有一个称为 V1 的速度。我需要构造一个垂直于速度矢量的正交平面。平面的原点是 X1。

我需要将平面的两条边变成两个向量，E1 和 E2。边在原点连接。所以三个向量组成一个轴。

我将 GLM 库用于矢量数学。

Answer 1

从矢量创建框架的一种方法是使用Householder transformations。这可能看起来很复杂，但代码很短，至少与使用叉积一样有效，并且不太容易出现舍入错误。此外，完全相同的想法适用于任何数量的维度。

想法是，给定一个向量 v，找到一个将 v 映射到 (1,0,0) 的倍数的 Householder 变换，然后将其逆应用于 (0,1,0) 和 (0, 0,1) 得到其他帧向量。由于 Householder 变换是它自己的逆变换，并且由于它们易于应用，因此生成的代码相当有效。以下是我使用的 C 代码：

static  void    make_frame( const double* v, double* f)
{
double  lv = hypot( hypot( v[0], v[1]), v[2]);  // length of v
double  s = v[0] > 0.0 ? -1.0 : 1.0;
double  h[3] = { v[0] - s*lv, v[1], v[2]};  // householder vector for Q
double  a = 1.0/(lv*(lv + fabs( v[0])));    // == 2/(h'*h)
double  b;
    // first frame vector is v normalised
    b = 1.0/lv;
    f[3*0+0] = b*v[0]; f[3*0+1] = b*v[1];   f[3*0+2] = b*v[2];

    // compute other frame vectors by applying Q to (0,1,0) and (0,0,1)
    b = -v[1]*a;
    f[3*1+0] = b*h[0]; f[3*1+1] = 1.0 + b*h[1]; f[3*1+2] = b*h[2];

    b = -v[2]*a;
    f[3*2+0] = h[0]*b; f[3*2+1] = b*h[1];       f[3*2+2] = 1.0 + b*h[2];
}

Answer 2

通常，您可以使用四个数字定义 3D 平面，例如 Ax+By+Cz=D。您可以将三元组 (A,B,C) 视为垂直于平面伸出的向量（称为法线向量）。

法线向量 n = (A,B,C) 仅定义平面的方向，因此根据常数 D 的选择，您可以获得距原点不同距离的平面。

如果我正确理解您的问题，您正在寻找的平面具有法线向量 (A,B,C) = V1 并且常数 D 是使用点积获得的： D = (A,B,C) 。 X1，即D = AX1.x + BX1.y + C*X1.z.

请注意，您也可以使用平面 n 的几何方程获得相同的结果。 ((x,y,z) - p0) = 0，其中 p0 是平面上的某个点，在您的情况下是 V1 。 ( (x,y,z) - X1) = 0。