为什么 left+(right-left)/2 不会溢出？答案

【问题标题】：why left+(right-left)/2 will not overflow?为什么 left+(right-left)/2 不会溢出？
【发布时间】：2014-11-27 10:09:25
【问题描述】：

在这篇文章中：http://googleresearch.blogspot.sg/2006/06/extra-extra-read-all-about-it-nearly.html，它提到大多数快速排序算法有一个错误（左+右）/2，并指出解决方案是使用left+(right-left)/2而不是(left+right)/2。问题中也给出了解决方案Bug in quicksort example (K&R C book)?

我的问题是为什么left+(right-left)/2 可以避免溢出？如何证明？提前致谢。

【问题讨论】：

标签： integer-overflow

【解决方案1】：

根据定义，您有 left < right。

因此，right - left > 0，还有left + (right - left) = right（来自基本代数）。

因此left + (right - left) / 2 <= right。因此不会发生溢出，因为操作的每一步都以right 的值为界。

相比之下，考虑错误的表达式(left + right) / 2。 left + right >= right，由于我们不知道 left 和 right 的值，因此该值完全有可能溢出。

【讨论】：

【解决方案2】：

假设（为了使示例更容易）最大整数为 100，left = 50 和 right = 80。如果你使用简单的公式：

int mid = (left + right)/2;

加法会导致130 溢出。

如果你这样做：

int mid = left + (right - left)/2;

你不能在(right - left) 中溢出，因为你是从一个较大的数字中减去一个较小的数字。这总是导致一个更小的数字，所以它不可能超过最大值。例如。 80 - 50 = 30.

而且由于结果是left 和right 的平均值，所以它一定在它们之间。因为它们都小于最大整数，所以它们之间的任何东西也都小于最大值，所以没有溢出。

【讨论】：

【解决方案3】：

基本逻辑。

根据定义left <= MAX_INT
根据定义right <= MAX_INT
left+(right-left) 等于 right，根据 #2 已经是 <= MAX_INT
所以left+(right-left)/2 必须也是<= MAX_INT，因为x/2总是小于x。

对比原版

根据定义left <= MAX_INT
根据定义right <= MAX_INT
因此left+right <= MAX_INT
等等(left+right)/2 <= MAX_INT

语句 3 显然是错误的，因为 left 可以是 MAX_INT（语句 1），right（语句 2）也可以。

【讨论】：

【解决方案4】：

一个简单的例子将展示它。为简单起见，假设数字在999 以上溢出。如果我们有：

left = 997
right = 999

然后：

left + right = 1995

在我们到达/2 之前已经溢出。然而：

right - left = 2
(right-left)/2 = 1
left + (right-left)/2 = 997 + 1 = 998

所以我们避免了溢出。

更一般地说（正如其他人所说）：如果 left 和 right 都在范围内（假设 right > left，那么 (right-left)/2 将在范围内，left + (right-left)/2 也必须在范围内，因为这必须是小于right（因为您将left 与right 之间的差距增加了一半。

【讨论】：

【解决方案5】：

由于 int 数据类型在 Java 中是 32 位（假设是一种编程语言），任何超过 32 位的值都会被翻转。从数值上来说，这意味着在 Integer.MAX_VALUE (2147483647) 上加 1 后，返回值为 -2147483648。

针对上述问题，我们假设如下：

int left = 1;
int right = Integer.MAX_VALUE;
int mid;

案例 1：

mid = (left +right)/2; 
//Here the value of left + right would be -2147483648 which would overflow.

案例 2：

mid = left + (right - left)/2;
//This would not have the same problem as above as the value would never exceed "right".

理论上：

两个值都等于left + (right - left)/2 = (2*left + right - left)/2 = (left + right)/2

希望这能回答你的问题。

【讨论】：

【解决方案6】：

（这比证明更直观。）

假设您的数据是unsigned char、left = 100 和right = 255（所以right 位于范围的边缘）。如果你做left + right，你会得到355，它不符合unsigned char的范围，所以会溢出。

但是，(right-left)/2 是一个数量 X，使得 left + X < right < MAX，其中 MAX 是 255 对应于 unsigned char。这样，您可以确保总和永远不会溢出。

【讨论】：