如何找到覆盖屋顶孔所需的最少瓷砖数量

Question

我刚刚学习动态编程，偶然发现了一个我不知道如何用 Python 表述的问题：

给定一个长度为 55 的二进制数组 H，1 表示屋顶上有一个洞，0 表示没有洞。 您可以使用的尾部长度为 1、13 或 55，每个尾部的部署成本分别为 3、13 和 50。 对于给定的孔数组H，返回覆盖所有孔的最小成本。

根据我所学到的，第一步是找到基本案例，并通过归纳推理。 所以，这里有一些我很容易找到的基本案例：

• 13 号瓷砖比 5 块 1 号瓷砖更方便（成本：13 比 15 或更多）
• 55 号瓷砖比 4 块 13 号瓷砖更方便（成本：50 对 52 或更多）

最初我认为第一点意味着如果在 13 个连续空间中有 5 个或更多孔，我应该始终选择 13 块。但是我认为这取决于以下漏洞。

如果你在问题中加入 1-tiles，第二点就更成问题了。例如，考虑在[0, 15, 29, 44] 位置有 4 个单孔，最好使用 4 个 1-tile（1 x 55-tile 成本 50，4 x 13-tiles = 52）。

所以看起来我必须评估阵列中所有可能的切片组合的孔的“间距”是多少。

我怎样才能把上面的代码写成（甚至是伪）代码？

Answer 1

假设 cost[i] - 覆盖屋顶的前 i 个元素的最佳成本。 显然 cost[0] = 0（我们不需要任何钱来覆盖 0 个图块）。

让我们将状态描述为（位置，成本）。

从状态 (i,cost[i]) 我们可以得到 4 种不同的潜在状态：

• (i + 1, cost[i] + 3)（当我们使用长度为 1 且成本为 3 的图块时）
• (i + 13, cost[i] + 13) (tile length = 13, cost 也是 13)
• (i + 55, cost[i] + 50) (tile length = 55, cost is 50)
• (i + 1, cost[i])（我们忽略当前位置，这里不使用任何图块）

一旦我们使用上述规则之一改变状态，我们应该考虑：

• 位置应该是
• 如果我们以相同或更大的成本定位 i，我们不想继续（基本上动态规划在这里发挥作用，如果我们以相同或更差的结果处理子问题，我们不想继续）。
• 如果这个 tile 有洞，我们就不能跳过这个 tile（我们的第 4 个状态转换）。

一旦我们运行所有这些状态转换，答案将是成本[总长度 (55)]