覆盖网格中的单元所需的最少激光器数量？

Question

我在一次采访中被问到这个问题。我正在稍微修改这个问题，以防止它被明确地谷歌，但要点是：

给你一个N x M 网格。网格中的一些单元格是“邪恶的”（用数字 1 表示），其余的是“好”的（用 0 表示）。您将激光定位在每个 N 行和每个 M 列上，当打开时会杀死它们各自行或列中的所有单元格，例如如果你有：

   L1 L2 L3 L4
L5  0  1  0  0
L6  0  1  0  1
L7  0  1  1  0
L8  0  0  0  0

您可以开启任一（L2、L3、L4）：

   L1 L2 L3 L4
L5  0  x  x  x
L6  0  x  x  x
L7  0  x  x  x
L8  0  x  x  x

或者你可以开启（L2、L6、L7）：

   L1 L2 L3 L4
L5  0  x  0  0
L6  x  x  x  x
L7  x  x  x  x
L8  0  x  0  0

开启的一组激光称为“GoodConfig”，前提是它会杀死所有邪恶细胞。请注意，您始终可以打开一行或一列的所有激光并杀死所有东西，这将是“GoodConfig”，但打开激光很昂贵，杀死好的细胞是不好的。

1. “GoodConfig”的最小尺寸是多少，即在杀死所有邪恶细胞之前我们可以打开的最少激光数量？

2. 什么是“GoodConfig”，可以最大限度地减少被杀死的好细胞的数量？

Answer 1

这个问题可以重新表述为二分图上的最小顶点覆盖问题。

考虑一个图：顶点是行（一部分）和列（另一部分）。当且仅当对应的单元格(row, col) 为邪恶时，顶点row 和col 之间存在边。

我们现在的问题是找到一组具有最小可能大小的顶点，以使我们的图形的每条边（以前的单元格）在我们的集合（行或列）中至少有一个顶点。

根据Koenig's Theorem，我们可以在我们的二分图中找到最大匹配，然后在匹配的每条边上精确标记一个顶点，以便得到的一组顶点覆盖上述意义上的图。特别是最大匹配的大小等于最小顶点覆盖的大小。

Answer 2

为了回答 1) 和 2)，我会采用以下方法，假设 N 或 M 很小（比如

对选定的行/列集（以较小者为准）进行暴力破解，并检查添加列/行以覆盖所有内容的相应成本。

假设 N N 组行，我们为每一行处理整个矩阵。这种方法在 O(2^N * N * M) 中运行。

#define CONTAINS(mask, bit) (mask & (1 << bit))

void Solve(int matrix[MAX][MAX], int N, int M) {
    vector<int> best;
    int i, j, best_good_cells;
    for (int rows_mask = 0; rows_mask < (1 << N); rows_mask++) {
        vector<int> lasers;
        int good_cells = 0;
        for (j = 0; j < M; j++) {
            bool add_column = false;
            int good = 0;
            for (i = 0; i < N; i++)
                if (!CONTAINS(rows_mask, i)) {
                    if (matrix[i][j] == 0)
                        good++;
                    else
                        add_column = true;
                }
            if (add_column) {
                lasers.push_back(j);
                good_cells += good;
            }
        }
        for (i = 0; i < N; i++)
            if (CONTAINS(rows_mask, i))
                lasers.push_back(M+i);
        if (best.size() == 0 ||
                best.size() > lasers.size() ||
                (best.size()==lasers.size() && good_cells < best_good_cells)){
            best = lasers;
            best_good_cells = good_cells;
        }
    }
    cout << "Select lasers:";
    for (auto i: best)
        cout << " " << i+1;
    cout << endl;
}