如何以最佳时间复杂度有效地解决这个问题？

Question

给定数组中的一组 N 个数字。给定 Q 查询。每个查询包含 1 个数字 x。

对于每个查询，你需要将x添加到数组的每个元素中，然后报告数组中的绝对值之和。

注意：对数组的更改是永久性的。有关更多说明，请参阅示例。

输入格式

第一行包含 N ，数组中的元素数。 下一行包含数组的 N 个空格分隔的整数。 下一行包含 Q（查询数）。 下一行包含 Q 个空格分隔的整数（数字 x）。

输出格式

对于每个查询，在换行符中输出总和。

约束
1≤N≤500000
1≤Q≤500000
-2000 ≤ 每个查询中的数量 ≤ 2000
-2000 ≤ 数组元素的值 ≤ 2000

示例输入

3
-1 2 -3
3
1 -2 3

样本输出

5
7
6

解释

在查询 1 之后：[ 0 , 3 , -2 ] => sum = 0 + 3 + 2 = 5

在查询 2 之后：[ -2 , 1 , -4 ] => sum = 2 + 1 + 4 = 7

在查询 3 之后：[ 1 , 4 , -1 ] => sum = 1 + 4 + 1 = 6

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

int main()
{
  int n,*a,q,*aq;
  long int sum=0;
  scanf("%d",&n);
  a=(int*)malloc(sizeof(int)*n);
  for(int i=0;i<n;i++)
    scanf("%d",&a[i]);

  scanf("%d",&q);
  aq=(int*)malloc(sizeof(int)*q);
  for(int i=0;i<n;i++)
    scanf("%d",&aq[i]);

  for(int i=0;i<q;i++)
  {
    for(int j=0;j<n;j++)
    {
        sum+=abs(aq[i]+a[j]);
        a[j]=aq[i]+a[j];
    }

    printf("%ld\n",sum);
    sum=0;

  } 

}  

一些测试用例正在超时。

Answer 1

您的解决方案正在执行 N.Q 操作，这是巨大的。

首先注意数据的范围是适中的，这样你就可以用4001个条目的直方图来表示N个数字。这个直方图是在 N 次操作中计算出来的（加上初始化 bin）。

然后，请求的总和作为每个 bin 的绝对差之和，由 bin 值加权。这将工作量从 N.Q 降低到 B.Q（B 是 bin 的数量）。

---

如果我是对的，我们可以通过将总和分解为负值的子和和正值的子和来做得更好。这些和是通过计算前缀和获得的。在 B 操作中预处理直方图之后，这应该会导致 Q 操作中的解决方案。

Answer 2

这是一个算法的概要：

示例输入

3
-1 2 -3

对数据进行排序并计算前缀和：

-3, -1, 2
-3, -4, -2 (prefix sums)

（使用直方图作为 Yves Daoust suggested 将消除初始排序和任何二进制搜索以找到以下三个部分，这将显着优化复杂性。）

维护一个正在运行的增量：

delta = 0

对于每个查询

1 -2 3

查询 1：

* update delta:
  delta = 0 + 1 = 1

* identify three sections:
  [negative unaffected] [switches sign] [positive unaffected]
       -3,   -1,                                 2

* Add for each section abs(num_elements * delta + prefix_sum):
   abs(2 * 1 + (-4 - 0))        +        abs(1 * 1 + (-2 -(-4)))
   = abs(2 - 4) + abs(1 + 2)
   = 5

查询-2：

* update delta:
  delta = 1 - 2 = -1

* identify three sections:
  [negative unaffected] [switches sign] [positive unaffected]
       -3,   -1,                                 2

* Add for each section abs(num_elements * delta + prefix_sum):
   abs(2 * (-1) + (-4 - 0))     +     abs(1 * (-1) + (-2 -(-4)))
   = abs(-2 - 4) + abs(-1 + 2)
   = 7

查询 3：

* update delta:
  delta = -1 + 3 = 2

* identify three sections:
  [negative unaffected] [switches sign] [positive unaffected]
       -3,                   -1,                   2

* Add for each section abs(num_elements * delta + prefix_sum):
 abs(1 * 2 + (-3 - 0)) + abs(1 * 2 + (-4 - (-3))) + abs(1 * 2 + (-2 -(-4)))
   = abs(2 - 3) + abs(2 - 1) + abs(2 + 2)
   = 6

样本输出

5
7
6