在时间复杂度方面需要帮助以有效地解决以下问题

Question

最近两天我正在尝试解决以下问题。除了蛮力，我想不出任何解决方案。任何类型的提示或参考将不胜感激。 TIA。

"给定 N 个不同的素数，即p1、p2、...、pN 和一个区间 [L,R]。计算此区间中至少可以被给定的一个整数整除的整数个数素数。”

N 非常小 (1

Answer 1

首先注意，限制问题更容易，忽略下限（即：处理 L=1）。如果我们可以对任意 N 都可以被素数

给定任意数 x，可被 x 整除的数

现在，我们可以应用inclusion-exclusion principle 来获得结果。首先，我将手动显示 3 个素数 p1、p2 和 p3 的结果，然后给出一般结果。

可被 p1、p2 或 p3 整除的数字

R / p1 + R / p2 + R / p3
- R / (p1p2) - R / (p1p3) - R / (p2p3)
+ R / (p1p2p3)

（这里/假定为四舍五入整数除法）。

一般情况如下：

sum((-1)^(|S|+1) * R / prod(S) for S a non-empty subset of {p1, p2, .., pN}).

这里S 涵盖所有素数子集，prod(S) 是子集中素数的乘积，初始项根据子集的大小在 -1 和 +1 之间变化。

对于您的问题，N

这是一些 Python 代码示例：

from itertools import *

def powerset(iterable):
    s = list(iterable)
    return chain.from_iterable(combinations(s, r) for r in range(len(s)+1))

def prod(ns):
    r = 1
    for n in ns:
        r *= n
    return r

def divs(primes, N):
    r = 0
    for S in powerset(primes):
        if not S: continue
        sign = 1 if len(S) % 2 else -1
        r += sign * (N // prod(S))
    return r

def divs_in_range(primes, L, R):
    return divs(primes, R) - divs(primes, L-1)

请注意，此代码的运行时间或多或少仅取决于质数的数量，而与 L 和 R 的大小无关。

Answer 2

假设 n 是区间大小，N 是 const。

对于每个素数 p，在可被素数整除的区间中应该有大致 (R-L) / p 个数。

找出区间中第一个可被 p 整除的数：L' = L + (p - L % p)。

现在如果 L' > R，则没有；否则有 1 + floor((R-L') / p)。

示例：3、[10、20]：

L' = 10 + 3 - 10 % 3 = 12。

区间内可被 3 整除的数字：1 + floor((20 - 12) / 3) = 3

注意：到目前为止，我们还没有使用 p1..pN 是素数这一事实。

剩下的问题似乎是：如何避免多次计算可被多个素数整除的数字？示例：假设我们有 3,5 和 [10, 20]，我们需要避免将 15 计算两次...

也许我们可以使用上面的计数算法只计算 (p1*p2) 等的可除性，并相应地减少总数？如果 N ist const，这应该仍然是 const 时间。因为 p1...pN 是素数，所以它们的所有乘积都必须不同（因为任何数都不能有多个素数分解）。