证明 NP 完备性答案

【问题标题】：Proving NP-Completeness证明 NP 完备性
【发布时间】：2016-05-05 06:57:07
【问题描述】：

给定图的任意两个顶点之间的 m 条最短路径。确定我们是否可以选择 k 条最短路径，使得它们的并集覆盖所有边。

我确信减少必须来自固定掩护，但我没有办法将其减少到这个问题。请帮帮我

【问题讨论】：

所以你有 2 个选择的顶点，它们之间有 k 个不同的路径，长度都一样？每条边的长度为 1，还是每条边的长度不同？更好地定义问题。
这是完整的问题：s15.postimg.org/cgm5vqgrf/…
关于这个问题我不明白的一点：图的两个顶点是否为我们正在调查的一组路径固定，或者这些路径的开始和结束顶点对是否不同?
这是问题陈述； s15.postimg.org/cgm5vqgrf/… 就我个人而言，我不能说太多。但我相信这组路径不是固定的，它们位于不同的顶点对之间，因为问题指出“一对顶点之间的最短路径”而不是“一对顶点之间”。

标签： algorithm reduction np np-complete np-hard

【解决方案1】：

提示：看下图。从 A 到 B 有很多不同的最短路径。你能用这样的图和一组路径对集合覆盖进行编码吗？（好吧，您可能需要稍微修改一下图表，但这是一般的想法）。

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【讨论】：

套装封面中A和B对应什么。我无法完全理解你的暗示。请详细说明。
在输入时，您有图表和一组路径，每个路径从 A 到 B。每条路径将在集合封面中编码一个集合。
你能举个例子吗？
编辑后的更简单的图表怎么样？我不会为你做作业。
不。在集合封面中，您有一个集合 S 和一些称为 G 的 S 的集合子集。 S 的每个元素将映射到上图中顶行的一个节点。 G 的每个元素将映射到从 A 到 B 的最短路径，仅包含顶行中的匹配元素。此外，您需要对底行做一些事情，whixh 留给读者作为练习:)

【解决方案2】：

更新并不知道套装封面也是 NP-complete。不需要做任何事情来将原件放入确切的封面，所以我所做的 wlog 假设是不必要的。但我也意识到我的证明的基本思想是错误的：它表明当前问题是另一个问题的特例，这使它更容易，而不是更难。完整且正确的答案由 mjqxxxx 在https://math.stackexchange.com/q/2047262 给出。

~~让我们一起走吧。假设没有单个顶点属于超过 1 个路径（即路径对应于不同的顶点集）。~~

那么这个问题是一个~~exact~~覆盖问题（它是NP-complete）扩展到找到所有精确覆盖而不是只找到任何一个（并且然后检查其中一个是否有确切的k 元素——在一般情况下，这个检查有点棘手）。 https://en.wikipedia.org/wiki/Exact_cover https://en.wikipedia.org/wiki/Set_cover_problem

集合X包含图的所有顶点，集合S包含对应于给定路径集合的顶点集合。

【讨论】：

我不确定，但我认为您在 cmets 中提出的疑问实际上对这个问题非常关键。从问题陈述来看，似乎所有路径都在两个顶点之间，因为您不能假设所有路径都不相交的假设 w.l.o.g.