分解二维变换矩阵

Question

所以，我有一个 Direct2D Matrix3x2F，用于存储几何转换。我希望这些转换是用户可编辑的，并且我不希望用户必须直接编辑矩阵。是否可以将 3x2 矩阵分解为缩放、旋转、倾斜和平移？

Answer 1

这是我为 Direct2D 转换矩阵找到的解决方案：

• 缩放 x = sqrt(M11 * M11 + M12 * M12)

• 缩放 y = sqrt(M21 * M21 + M22 * M22) * cos(shear)

• 旋转 = atan2(M12, M11)

• 剪切 (y) = atan2(M22, M21) - PI/2 - rotation

• 翻译 x = M31

• 翻译 y = M32

如果您按照scale(x, y) * skew(0, shear) * rotate(angle) * translate(x, y) 的顺序将这些值相乘，您将得到一个执行等效变换的矩阵。

Answer 2

1. 分解

   是的，你可以（至少部分）。 3x2 变换矩阵表示没有投影的 2D 同质 3x3 变换矩阵。这样的变换矩阵要么是 OpenGL 风格：

   | Xx Yx Ox |
   | Xy Yy Oy |
   

   或DirectX风格：

   | Xx Xy |
   | Yx Yy |
   | Ox Oy |
   

   当您标记 Direct2D 并使用 3x2 矩阵时，第二个就是您得到的。有3向量：

   
   X=(Xx,Xy) X 轴矢量
   Y=(Yx,Yy)Y轴矢量
   O=(Ox,Oy)坐标系原点。

   现在让我们假设不存在偏斜并且矩阵是正交...

2. 缩放

   非常简单，只需获取轴基向量长度即可。

   scalex = sqrt( Xx^2 + Xy^2 );
   scaley = sqrt( Yx^2 + Yy^2 );
   

   比例系数是>1，矩阵放大，如果<1缩小。

3. 轮换

   你可以使用：

   rotation_ang=atan2(Xy,Yx);
   

4. 翻译

   偏移量是O，所以如果它不为零，则表示存在翻译。

5. 倾斜

   在 2D 中，倾斜不会使事情过于复杂，上面的要点仍然适用（3D 不是这种情况）。倾斜角是轴之间的角度减去90 度，所以：

   skew_angle = acos((X.Y)/(|X|.|Y|)) - 0.5*PI;
   skew_angle = acos((Xx*Yx + Xy*Yy)/sqrt(( Xx^2 + Xy^2 )*( Yx^2 + Yy^2 ))) - 0.5*PI;
   

还要注意，如果您的变换矩阵不代表您的坐标系而是它的逆矩阵，那么您需要在应用它之前反转您的矩阵...

所以计算第一个逆：

| Xx Xy 0 |
| Yx Yy 0 |
| Ox Oy 1 |

并将上述内容应用于结果。

有关此主题的更多信息，请参阅：

• Understanding 4x4 homogenous transform matrices

尤其是列主要顺序和行主要顺序之间的区别（OpenGL 与 DirectX 表示法）

Answer 3

将主要转换存储在具有可编辑属性的类中

   scaling
   rotation
   skewing
   translation

然后从中构建最终的变换矩阵。这样会更容易。但是，如果您必须有分解矩阵的算法。它们并不像您想象的那么简单。

System.Numerics 有分解 3D 变换矩阵的方法

https://github.com/dotnet/corefx/blob/master/src/System.Numerics.Vectors/src/System/Numerics/Matrix4x4.cs#L1497