在 C 中实现正弦和余弦的泰勒级数

Question

我一直在按照我的教授给我们的指南进行操作，但我就是找不到哪里出错了。我还遇到了其他一些关于在 C 中实现泰勒级数的问题。

只要假设 RaiseTo（将一个数提高到 x 次方）就在那里。

double factorial (int n)
{
    int fact = 1,
    flag;

   for (flag = 1; flag <= n; flag++)
   {
        fact *= flag;
   }

   return flag;
}

double sine (double rad)
{

int flag_2,
    plusOrMinus2 = 0; //1 for plus, 0 for minus 
double sin, 
    val2 = rad,
    radRaisedToX2,
    terms;

terms = NUMBER_OF_TERMS; //10 terms

    for (flag_2 = 1; flag_2 <= 2 * terms; flag_2 += 2)
    {
        radRaisedToX2 = RaiseTo(rad, flag_2);   

        if (plusOrMinus2 == 0)
        {
            val2 -=  radRaisedToX2/factorial(flag_2);
            plusOrMinus2++; //Add the next number
        }

        else
        {
            val2 += radRaisedToX2/factorial(flag_2);
            plusOrMinus2--; //Subtract the next number
        }
    }

    sin = val2;
    return sin;
 }

int main()
{
    int degree;
    scanf("%d", &degree);
    double rad, cosx, sinx;
    rad = degree * PI / 180.00;
    //cosx = cosine (rad);
    sinx = sine (rad);
    printf("%lf \n%lf", rad, sinx);
}

所以在循环过程中，我得到 rad^x，除以从 1 开始的奇数系列的阶乘，然后根据需要添加或减去它，但是当我运行程序时，我得到输出方式上面一个，我们都知道 sin(x) 的极限是 1 和 -1，我真的很想知道我哪里出错了，所以我可以改进，对不起，如果这是一个非常糟糕的问题。

Answer 1

12! 上的任何值都大于 32 位 int 的容量，因此这些值会溢出，因此不会返回您期望的值。

不是每次都计算完整的阶乘，而是查看序列中相对于前一项的每一项。对于任何给定的术语，下一个是 -((x*x)/(flag_2*(flag_2-1)) 乘以前一个。因此，从x 的术语开始，然后为每个连续的术语乘以该因子。

还有一个技巧可以在不知道需要多少项的情况下将结果计算到double 的精度。我将把它作为练习留给读者。

Answer 2

在函数factorial 中，在分配给函数的double 返回值之前，您正在执行int 乘法。阶乘可以轻松打破int 范围，例如20! = 2432902008176640000。

您还返回了错误的变量 - 循环计数器！

请将局部变量改为double，为

double factorial (int n)
{
    double fact = 1;
    int flag;

    for (flag = 1; flag <= n; flag++)
    {
        fact *= flag;
    }
    return fact;    // it was the wrong variable, and wrong type
}

此外，甚至不需要阶乘计算。请注意，该系列的每个术语都将前一个术语乘以 rad 并除以术语编号 - 符号发生变化。

Answer 3

另一种相当幼稚的 5 分钟方法涉及计算一个查找表，其中包含前 20 个左右的阶乘，即 1! .. 20！这需要很少的内存，并且可以提高“每次”计算方法的速度。在预先计算阶乘的函数中可以很容易地实现进一步的优化，利用每个阶乘与前一个阶乘之间的关系。

在两个三角函数的循环中有效消除分支（如果 X 做 Y，否则做 Z）的方法将再次提供更快的速度。

C 代码

#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>

const int nMaxTerms=20;
double factorials[nMaxTerms];

double factorial(int n)
{
    if (n==1)
        return 1;
    else
        return (double)n * factorial(n - 1.0);
}

void precalcFactorials()
{
    for (int i=1; i<nMaxTerms+1; i++)
    {
        factorials[i-1] = factorial(i);
    }
}

/*
    sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! .......
*/
double taylorSine(double rads)
{
    double result = rads;

    for (int curTerm=1; curTerm<=(nMaxTerms/2)-1; curTerm++)
    {
        double curTermValue = pow(rads, (curTerm*2)+1);
        curTermValue /= factorials[ curTerm*2 ];
        if (curTerm & 0x01)
            result -= curTermValue;
        else
            result += curTermValue;
    }
    return result;
}

/*
    cos(x) = 1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - (x^6)/6! .......
*/
double taylorCos(double rads)
{
    double result = 1.0;
    for (int curTerm=1; curTerm<=(nMaxTerms/2)-1; curTerm++)
    {
        double curTermValue = pow(rads, (curTerm*2) );
        curTermValue /= factorials[ (curTerm*2) - 1 ];
        if (curTerm & 0x01)
            result -= curTermValue;
        else
            result += curTermValue;
    }
    return result;
}

int main()
{
    precalcFactorials();
    printf("Math sin(0.5) = %f\n", sin(0.5));
    printf("taylorSin(0.5) = %f\n", taylorSine(0.5));

    printf("Math cos(0.5) = %f\n", cos(0.5));
    printf("taylorCos(0.5) = %f\n", taylorCos(0.5));

    return 0;
}

输出

Math sin(0.5) = 0.479426
taylorSin(0.5) = 0.479426
Math cos(0.5) = 0.877583 
taylorCos(0.5) = 0.877583

Javascript

在 javascript 中实现，当在 sin/cos 函数中仅对 7 个项求和时，代码会产生与内置数学库看似相同的结果（我没有进行太多测试）。

window.addEventListener('load', onDocLoaded, false);

function onDocLoaded(evt)
{
	console.log('starting');
	for (var i=1; i<21; i++)
		factorials[i-1] = factorial(i);
	console.log('calculated');
	
	console.log(" Math.cos(0.5) = " + Math.cos(0.5));
	console.log("taylorCos(0.5) = " + taylorCos(0.5));
	console.log('-');
	console.log("  Math.sin(0.5) = " + Math.sin(0.5));
	console.log("taylorSine(0.5) = " + taylorSine(0.5));
}

var factorials = [];

function factorial(n)
{
	if (n==1)
		return 1;
	else
		return n * factorial(n-1);
}

/*
	sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! .......
*/
function taylorSine(x)
{
	var result = x;
	for (var curTerm=1; curTerm<=7; curTerm++)
	{
		var curTermValue = Math.pow(x, (curTerm*2)+1);
		curTermValue /= factorials[ curTerm*2 ];
		if (curTerm & 0x01)
			result -= curTermValue;
		else
			result += curTermValue;
	}
	return result;
}

/*
	cos(x) = 1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - (x^6)/6! .......
*/
function taylorCos(x)
{
	var result = 1.0;
	for (var curTerm=1; curTerm<=7; curTerm++)
	{
		var curTermValue = Math.pow(x, (curTerm*2));
		curTermValue /= factorials[ (curTerm*2)-1 ];
		if (curTerm & 0x01)
			result -= curTermValue;
		else
			result += curTermValue;
	}
	return result;
}