证明算法的上限和下限答案

【问题标题】：Proving an upper and lower bound for an algorithm证明算法的上限和下限
【发布时间】：2015-06-26 19:51:06
【问题描述】：

如何证明算法的上限和下限？

到目前为止，我认为算法的上限和下限都需要通过考虑所有输入来显示，并表明它不能比 f(n) [upper bound] 并且不优于 g(n) [lower bound]。

我的讲师说，对于上限，需要一般地证明它[考虑到所有输入]，但对于下限，一个例子就足够了。

这真的让我很困惑。谁能澄清他的意思？

【问题讨论】：

你的讲师错了——或者你误解了他。如果您想展示g(n) 的最佳案例性能 - 您需要：（1）证明没有输入的性能优于g(n)。 (2)（如果你希望它严格）显示一些输入，其性能为g(n)，与上限相同（但方向相反）。

【解决方案1】：

如果你的讲师谈到最坏的情况，他是对的。

从一个例子中，您可以说运行时间“至少有那么多”（并且可能更糟），但不能说它“最多有那么多”（因为它可能更糟）。

[对称地，当谈到最佳情况时，单个情况可以保证上限。]

下限和上限是完全不同的东西。下限通常是“普遍”建立的，即与任何特定算法无关。例如，在最坏的情况下，您不能在少于 N.Log(N) 的比较中对序列进行排序，因为您需要区分 N！可能的排列，这需要收集 Lg(N!) 位信息。

相反，上限是针对特定算法确定的。例如，HeapSort 从不超过 2N.Lg(N) 次比较。当上限满足下限时，称该算法是有效的。

【讨论】：