四面体的外圆心（4D）

Question

我正在尝试计算 4 维空间中四面体的外心。基本上我正在寻找的是穿过四面体所有 4 个顶点的最小球体的中心。我在网上搜索过，但似乎找不到任何具体的公式。我的总体目标是找到外心并检查给定数据集中的任何其他点是否位于围绕四面体顶点构建的球体内。类似于 Delaunay 三角剖分的工作原理。请注意，四面体可以是正四面体，也可以是不规则四面体。

目前我正在使用自定义优化函数，该函数使用 GA 来定位与所有 4 个顶点等距的点。然而，这并不总能找到最小的封闭球体。我希望有一些具体的数学公式可以使这个计算更准确。

Answer 1

我不知道一个明确的公式（如果存在，它可能不容易消化），但由于求解一个小型线性系统很容易得到中心 - 没有优化算法。给定点 P1、P2、P3、P4，应用平移使 P1 成为原点。任何包含 P1,...,P4 的球体的中心都将具有等距的性质：与 P1 和 P2 等距；来自 P1 和 P3；从 P1 和 P4。每一个都是一个线性方程。 4 个未知数有 3 个方程，因此系统是欠定的。您想要的解决方案是最小范数之一（最小二乘解决方案）。这不是backslash operator 提供的解决方案，但是可以使用pinv 来获得它，这对于小型矩阵来说并不昂贵。

p1 = rand(1,4); p2 = rand(1,4); p3 = rand(1,4); p4 = rand(1,4);  % test input
v = [p2-p1; p3-p1; p4-p1];       % matrix of linear system
b = 0.5*[v(1,:)*v(1,:)' ; v(2,:)*v(2,:)' ; v(3,:)*v(3,:)'];  % RHS of the system
x = p1 + (pinv(v)*b)'    % least squares solution, translated back

您可以检查norm(x-p1)...norm(x-p4) 是否相等。