描述这种上下文无关文法生成的语言答案

【问题标题】：Describe the language generated by this context-free grammar描述这种上下文无关文法生成的语言
【发布时间】：2019-04-12 15:02:39
【问题描述】：

我有以下语法，

S -> Sb
S -> aaSb
S -> b

此语法中的典型推导是
S => Sb => [aaSb]b => [aa[b]b]b => aabbb 对应于n = 1
S => Sb => [aaSb]b => [aa[aaSb]b]b => [aa[aabb]b]b => aaaabbbb 对应于n = 2

编辑：所以我声称这个语法会生成语言
L = {a^(2n)b^(n+2) : n >= 1}

我很确定我的 a 是 a^(2n) 因为在 S 之前有两个 a ，但是 b 呢？这里没有 lambda 所以我的 n 来自 n >= 1?.

编辑：
b^(n+1) 和 b^(2n+1) 都是错误的假设，因为如果 n = 3，语法可以导出字符串 aaaaaabbbbb。
我将我的 b 修改为 b^(n+2)。这样 L 就变成了 L = {a^(2n)b^(n+2) : n >= 1}

【问题讨论】：

也许这对我来说是新的，但这是一个软件编程问题吗？
不是真的，这更像是计算机科学问题。
语法可以产生aaaaaabbbbb，它与您提议的形式不匹配。（我很确定 CFG 不能生成具有指数数量符号的语言，尽管我无法在此评论中证明这一点。）
你是对的，如果 n = 3 只有当 b 是 b^(n+2) 时，语法才会产生 aaaaaabbbbb。所以我对b^(2n) 或b^(2n+1) 的假设是错误的。
Production 1 表示可以在末尾添加任意数量的bs。这使得平等关系不太可能。

标签： context-free-grammar regular-language formal-languages context-free-language

【解决方案1】：

此语法生成的语言是a^(2n) b^(n+m+1)，其中n 和m 是自然数。为了证明这一点，（a）我们看到任何使用语法产生式派生的字符串都与上述匹配，并且（b）任何与上述匹配的字符串都可以使用语法的产生式派生。

(a) 文法可以而且必须只使用规则 (3) 一次。这给出了+1 的数量bs。规则 (2) 的执行可能会发生多次 n，将 2n as 放在前面，n bs 在后面，因此 2n 和 n 术语。规则 (1) 可以执行任意次数m，因此有这个术语。

(b) 给定字符串a^(2n) b^(n+m+1) 用于自然数n 和m：使用规则(1) 的次数等于m；然后，使用规则（2）的次数等于n；然后，用户规则（3）一次。因此，语法会生成字符串。

写相同答案的另一种方法是a^2n b^m 和m > n。

【讨论】：

【解决方案2】：

解决这个问题的一种方法是重写语法。请注意，产生式 1 和 2 都以 Sb 结尾，因此我们可以对它们进行左分解：

S -> ASb
S -> b
A -> 
A -> aa

从前两个产生式中，很容易看出S 生成A^n b^{n+1} for n >= 0。

从最后两个产生式中，A^n 生成 a^{2k} for 0 <= k <= n。

所以语言是a^{2k} b^{n+1} for n >= 0, 0 <= k <= n。

或者等价地，让m = n - k得到a^{2k} b^{k+m+1} for k,m >= 0。

【讨论】：