递归函数的最小空间复杂度是否为 O(N)？答案

【问题标题】：Do recursive functions have a minimum space complexity of O(N)?递归函数的最小空间复杂度是否为 O(N)？
【发布时间】：2013-11-30 11:00:12
【问题描述】：

我在考虑递归函数。举一个简单的函数，比如递归打印一个链表：

void print(list *list){
  if(list){
     cout << list->data
     print(list->next);
  }
}

起初这似乎是一个非常无害的函数，但它不是在每个堆栈帧中存储一个地址（由变量列表标记）吗？假设没有尾调用优化。我们需要 N 个地址的空间，其中 N 是列表的大小。所需空间与列表大小成正比线性增长。

如果没有至少一个局部变量或参数存储在堆栈上，我想不出你将如何实现递归函数。因此，似乎每个递归函数都将具有最好的线性空间复杂度。如果是这种情况，那么使用迭代而不是递归不是几乎总是可取的吗？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

答案是否定的，例如（完整）二叉树的遍历，空间复杂度为O(log N)，即树的深度。

【讨论】：

【解决方案2】：

虽然可以假设所有未优化的函数调用都会消耗一个堆栈帧，但对 N 个元素进行操作的递归算法并不总是需要 O(N) 大小的堆栈。

例如，递归树遍历算法使用 O(lg N) 堆栈帧，递归 QuickSort 也是如此。

【讨论】：

【解决方案3】：

你是对的。您甚至不需要变量，返回地址本身已经占用了空间。有一些方法可以避免递归中的深度嵌套（尾递归），现代编译器在许多情况下会自动执行此操作。但除此之外，在空间复杂度方面，迭代比递归更可取。

【讨论】：

【解决方案4】：

你是对的，假设没有尾调用优化，这段代码的空间复杂度与列表的大小成线性关系。

一般来说，递归会使事情变得更慢，而且更需要内存，是的。但是你不能总是通过迭代实现来渐近地改进它，因为对于非尾递归函数，你需要在迭代实现中手动维护堆栈，所以你仍然会使用相同数量的内存。

考虑深度优先遍历。您需要将每个节点以及接下来需要访问的子节点存储在堆栈中，以便在您访问其中一个子节点返回后，您知道接下来要访问哪个节点。递归使这变得非常容易，因为它抽象了所有丑陋的簿记。迭代实现不会渐进地更好，我希望实际差异也非常非常小。

很多时候，递归在不牺牲任何东西的情况下让事情变得更容易。在您的情况下，它没有意义 - 它只是递归的一个教学示例。

【讨论】：

大声笑！我一直在评论框中输入问题，在我提交之前，您进行编辑以回答确切的问题。好笑。但我还有一个。您提到递归会牺牲速度。这是为什么呢？
@ordinary - 很抱歉，我通常需要大约 5 分钟才能把所有东西都拿出来：P。因为调用函数需要时间，所以会牺牲速度——这并不是一个即时操作。您拥有的参数，返回地址，所有内容都需要添加到隐式堆栈递归创建。这不会影响大哦（好吧，如果您在真正不应该使用递归的地方使用递归，就像在您的示例中那样），但在实践中，会有一个（可能很小）差异。
所以递归本质上是语法糖？它如何影响我的示例（或任何示例）中的 big-o？在这种情况下，big-o 不是还是线性的吗？
@ordinary - 它通常不会影响（渐近）运行时间。它会影响使用的空间，就像在您的示例中一样。您发布的内容的迭代实现将具有O(1) 空间复杂度，而您的实现具有O(length of list)。如果你使用正确的递归和/或你的编译器优化了尾递归，这也不会发生。