计算递归关系 T(n) = sqrt(n * T(sqrt(n)) + n)

Question

我认为这个递归的复杂度是 O(n^2/3)`，通过改变变量和归纳。但我不确定。这个解决方案正确吗？

Answer 1

这是一个引人入胜的递归，它确实没有解出 Θ(n)。相反，它似乎解决了 Θ(n^2/3)。

为了直观说明为什么这不可能是 Θ(n)，让我们假设我们正在处理一个非常非常大的 n 值。那么由于

T(n) = (nT(√n) + n)^1/2

假设 T(√n) ≈ √n，我们会得到这个

T(n) = (n√n + n)^1/2

= (n^3/2 + n)^1/2

≈n^3/4.

换句话说，假设 T(n) = Θ(n) 随着 n 变大，我们会得到一个不同的 T(n) 值。

另一方面，我们假设 T(n) = Θ(n^2/3)。然后同样的计算告诉我们

T(n) = (nT(n) + n)^1/2

= (n·n^2/3 + n)^1/2

&大约; (n^4/3)^1/2

= n^2/3,

与自身一致。

为了验证这一点，我编写了一个简短的程序，在给定不同输入的情况下打印出不同的 T(n) 值并绘制结果。这是我写的 T(n) 的版本：

double T(double n) {
  if (n <= 2) return n;
  return sqrt(n * T(sqrt(n)) + n);
}

我决定使用 2 作为基本情况，因为反复取平方根永远不会让 n 下降到 1。我还决定使用实值参数而不是离散整数值，只是为了使数学更容易。

如果你绘制 T(n) 的值，你会得到这条曲线：

.

这看起来不像我对线性图的期望。为了弄清楚这是什么，我将它绘制在对数/对数图上，它具有一个很好的特性，即所有多项式函数都转换为斜率等于指数的直线。结果如下：

我咨询了我的 Handy Neighborhood Regression Software 并要求它确定这条线的斜率。以下是它回馈的内容：

坡度：0.653170918815869

R²：0.999942627574643

这是一个非常很好的拟合，0.653 的斜率非常接近 2/3。所以这是更多的经验证据支持递归求解到 Θ(n^2/3)。

现在剩下要做的就是计算数学。我们将使用一系列替换来解决这种重复。

首先，我一般不太习惯以这种递归方式使用指数的方式使用它们，所以让我们记录双方的日志。 （在整个阐述中，我将使用 lg n 来表示 log₂ n）。

lg T(n) = lg (nT(√n) + n)^1/2

= (1/2) lg (nT(√n) + n)

= (1/2) lg(T(√n) + 1) + (1/2)lg n

≈ (1/2) lg T(√n) + (1/2) lg n

现在，让我们定义 S(n) = lg T(n)。然后我们有

S(n) = lg T(n)

≈ (1/2) lg T(√ n) + (1/2) lg n

= (1/2) S(√ n) + (1/2) lg n

这更容易处理，尽管我们仍然存在每次幂次递减的问题。为了解决这个问题，让我们再做一次替换，这在处理这类表达式时是相当常见的。让我们定义 R(n) = S(2ⁿ)。然后我们就有了

R(n) = S(2ⁿ)

&大约; (1/2)S(√2ⁿ) + (1/2) lg 2ⁿ

= (1/2)S(2^n/2) + (1/2) n

= (1/2) R(n / 2) + (1/2) n

太棒了！现在剩下要做的就是求解 R(n)。

现在，这里有一个小问题。我们可以立即使用主定理得出 R(n) = Θ(n) 的结论。这样做的问题是，仅仅知道 R(n) = Θ(n) 不会让我们确定 T(n) 是什么。具体来说，假设我们只知道 R(n) = Θ(n)。那么我们可以这么说

S(n) = S(2^{lg n}) = R(lg n) = Θ(log n)

得到 S(n) = Θ(log n)。然而，当我们试图根据 S(n) 求解 T(n) 时，我们会遇到困难。具体来说，我们知道

T(n) = 2^S(n) = 2^{Θ(log n)},

但是我们不能从这个出发去说 T(n) = Θ(n)。原因是 Θ(log n) 中的隐藏系数在这里很重要。具体来说，如果 S(n) = k lg n，那么我们就有了

2^{k lg n} = 2^{lg nk} = n^k,

所以对数的前导系数最终将确定多项式上的指数。因此，在求解R时，需要确定线性项的准确系数，转化为S的对数项的准确系数。

让我们回到 R(n)，我们知道是

R(n) & 约; (1/2) R(n/2) + (1/2)n。

如果我们重复几次，我们会看到这种模式：

R(n) & 约; (1/2) R(n/2) + (1/2)n

&大约; (1/2)((1/2) R(n/4) + (1/4)n) + (1/2)n

&大约; (1/4)R(n/4) + (1/8)n + (1/2)n

&大约; (1/4)((1/2)R(n/8) + n/8) + (1/8)n + (1/2)n

&大约; (1/8)R(n/8) + (1/32)n + (1/8)n + (1/2)n。

模式似乎是，经过 k 次迭代，我们得到了

R(n) & 约; (1/2^k)R(n/2^k) + n(1/2 + 1/8 + 1/32 + 1/128 + ... + 1/2^2k+1）。

这意味着我们应该查看总和

(1/2) + (1/8) + (1/32) + (1/128) + ...

这是

(1/2)(1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + ... )

作为几何级数之和，求解为

(1/2)(4/3)

= 2/3。

嘿，看！这是我们之前所说的2/3。这意味着对于取决于递归基本情况的某个常数 c，R(n) 的结果约为 (2/3)n + c。因此，我们看到

T(n) = 2^S(n)

= 2^{S(2lg n)}

= 2^{R(lg n)}

&大约; 2^{(2/3)lg n + c}

= 2^{lg n2/3 + c}

= 2^c 2^{lg n2/3}

= 2^c n^2/3

= Θ(n^2/3)

这与之前的理论预测值和经验观察值相匹配。

这是一个非常有趣的问题，我承认我对答案感到惊讶！不过，我有点紧张，因为我可能在出发时错过了一些东西

lg T(n) = (1/2) lg (T(√n) + 1) + (1/2) lg n

到

lg T(n) & 约; (1/2) lg T(√ n) + (1/2) lg n。

这个 +1 术语实际上可能在我不认识的循环中引入了一些其他术语。例如，是否会产生一个 O(log log n) 项？ That wouldn't surprise me，假设我们有一个以平方根缩小的递归。但是，我已经进行了一些简单的数据探索，但我没有看到任何看起来涉及双对数的术语。

希望这会有所帮助！

Answer 2

T(n) = sqrt(n*T(sqrt(n)) + n)

我们将双方都提高到 2 的幂：

[T(n)]^2 = n*T(sqrt(n)) + n

将n从两边分开：

{[T(n)]^2 / n} = T(sqrt(n) + 1 

让m 等于log(n) 因此，n 将等于2^m

{[T(2^m)]^2 / 2^m} = T(sqrt(2^m) + 1

我们将定义一个新函数S(m) = {[T(2^m)]^2 / 2^m}

S(m) = T(m/2) + 1

根据 Mater 定理等于 θ(log(m)) = θ(log(log(n)))
所以我们知道：

{[T(n)]^2 / n} = θ(log(log(n)))

两边乘以n得到：

[T(n)]^2] = θ(n*log(log(n)))

因此，

T(n) = θ(sqrt(n*log(log(n))))

Answer 3

我们知道：

T(n) = sqrt(n) * sqrt(T(sqrt(n)) + 1)

因此：

T(n) < sqrt(n) * sqrt(T(sqrt(n)) + T(sqrt(n)))

1 被 T(sqrt(n)) 替换。所以，

T(n) < sqrt(2) * sqrt(n) * sqrt(T(sqrt(n))

现在，要找到一个上限，我们需要解决以下循环关系：

G(n) = sqrt(2n) * sqrt(G(sqrt(n))

为了解决这个问题，我们需要扩展它（假设n = 2^{2^k}和T(1) = 1）：

G(n) = (2n)^{1/2} * (2n)^{1/8} * (2n)^{1/32} * ... * (2n)^(1/2^k) => 
G(n) = (2n)^{1/2 + 1/8 + 1/32 + ... + 1/2^k} = 

如果我们从1/2 + 1/8 + 1/32 + ... + 1/2^k 中取一个因子1/2，我们将得到1/2 * (1 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^{k-1})。 正如我们所知，1 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^{k-1} 是一个几何级数，其比率为1/4，它在无穷远处等于4/3。因此G(n) = Theta(n^{2/3}) 和T(n) = O(n^{2/3})。

请注意，作为sqrt(n) * sqrt(T(sqrt(n)) < T(n)，我们可以显示类似于前面T(n) = Omega(n^{2/3}) 的情况。这意味着T(n) = Theta(n^{2/3})。