如何创建二维莫比乌斯带、克莱因瓶和投影平面阵列？

Question

我正在阅读以下有关“Games on Strange Boards”的文章。它描述了各种局部二维数组拓扑，例如：

1. Cylinder

2. Torus

3. Möbius strip

4. Klein bottle

5. Projective plane

在上图中，具有相同箭头的边以它们箭头匹配的方式粘合在一起。因此，如果箭头指向相同的方向，则它们是正常粘合的。但是，如果它们指向不同的方向，那么它们会在扭曲后粘上。

例如，从圆柱体的右上边缘移开会使您回到左上边缘。但是，从莫比乌斯带的右上边缘移开会使您回到左下边缘。

现在，创建圆柱形和环形阵列很容易。您使用模运算使行和列环绕。考虑计算具有m 行和n 列的环形阵列坐标的代码：

const mod = (x, y) => (x % y + y) % y; // floored division modulo operation

const coords = (m, n) => (i, j) => [mod(i, m), mod(j, n)]; // toroidal array

您将如何计算莫比乌斯带、克莱因瓶或投影平面的坐标？考虑到这些是non-orientable surfaces，是否有任何特殊情况需要处理？

Answer 1

考虑一个由矩形纸制成的圆柱体。片材有两个侧面，正面和背面。当我们将片材粘成圆柱体时，我们无法从正面（圆柱体外部）到达背面（圆柱体内部）。但是，如果我们将这张纸粘成莫比乌斯带，那么我们可以。如果我们将两侧分开并将其展平，这就是莫比乌斯带上的网格的样子：

 ┌────┬────┬────┬────┰────┬────┬────┬────┐
 │ a4 │ b4 │ c4 │ d4 ┃ A1 │ B1 │ C1 │ D1 │
 ├────┼────┼────┼────╂────┼────┼────┼────┤
 │ a3 │ b3 │ c3 │ d3 ┃ A2 │ B2 │ C2 │ D2 │
 ├────┼────┼────┼────╂────┼────┼────┼────┤
 │ a2 │ b2 │ c2 │ d2 ┃ A3 │ B3 │ C3 │ D3 │
 ├────┼────┼────┼────╂────┼────┼────┼────┤
 │ a1 │ b1 │ c1 │ d1 ┃ A4 │ B4 │ C4 │ D4 │
 └────┴────┴────┴────┸────┴────┴────┴────┘

请注意，左边的方块（即小写的方块）在前面，而右边的方块（即大写的方块）在后面。只有大小写不同的正方形是同一个正方形，只是在莫比乌斯带的相对两侧。需要注意的一点是，这个扁平的莫比乌斯带很像一个圆柱体，只是左右两侧重合。

莫比乌斯带的代码如下所示：

const mod = (x, y) => (x % y + y) % y;

const coords = (m, n) => (i, j) => {
    j = mod(j, 2 * n);         // wrapping around like a cylinder
    if (j < n) return [i, j];  // front side
    return [m - i - 1, j - n]; // back side, translated to front side
};

克莱因瓶与莫比乌斯带完全相同，只是它的行为类似于圆环而不是圆柱。下面是克莱因瓶的代码：

const mod = (x, y) => (x % y + y) % y;

const coords = (m, n) => (i, j) => {
    i = mod(i, m);             // wrapping around
    j = mod(j, 2 * n);         // like a torus
    if (j < n) return [i, j];  // front side
    return [m - i - 1, j - n]; // back side, translated to front side
};

射影平面也表现得像一个圆环。然而，它的每一边都可以有两个方向，规则的和旋转 180°。以下是展平投影平面的样子：

 ┌────┬────┬────┬────┰────┬────┬────┬────┐
 │ a4 │ b4 │ c4 │ d4 ┃ A1 │ B1 │ C1 │ D1 │
 ├────┼────┼────┼────╂────┼────┼────┼────┤
 │ a3 │ b3 │ c3 │ d3 ┃ A2 │ B2 │ C2 │ D2 │
 ├────┼────┼────┼────╂────┼────┼────┼────┤
 │ a2 │ b2 │ c2 │ d2 ┃ A3 │ B3 │ C3 │ D3 │
 ├────┼────┼────┼────╂────┼────┼────┼────┤
 │ a1 │ b1 │ c1 │ d1 ┃ A4 │ B4 │ C4 │ D4 │
 ┝━━━━┿━━━━┿━━━━┿━━━━╋━━━━┿━━━━┿━━━━┿━━━━┥
 │ D4 │ C4 │ B4 │ A4 ┃ d1 │ c1 │ b1 │ a1 │
 ├────┼────┼────┼────╂────┼────┼────┼────┤
 │ D3 │ C3 │ B3 │ A3 ┃ d2 │ c2 │ b2 │ a2 │
 ├────┼────┼────┼────╂────┼────┼────┼────┤
 │ D2 │ C2 │ B2 │ A2 ┃ d3 │ c3 │ b3 │ a3 │
 ├────┼────┼────┼────╂────┼────┼────┼────┤
 │ D1 │ C1 │ B1 │ A1 ┃ d4 │ c4 │ b4 │ a4 │
 └────┴────┴────┴────┸────┴────┴────┴────┘

所以，投影平面的代码如下所示：

const mod = (x, y) => (x % y + y) % y;

const coords = (m, n) => (i, j) => {
    i = mod(i, 2 * m);         // wrapping around
    j = mod(j, 2 * n);         // like a torus

    if (i >= m) {              // collapse to Klein bottle topology
        i -= m;
        j  = mod(n - j - 1, 2 * n);
    }

    if (j < n) return [i, j];  // front side
    return [m - i - 1, j - n]; // back side, translated to front side
};

希望对您有所帮助。