FFT的比例输出（MATLAB）答案

【问题标题】：Scale output of FFT (MATLAB)FFT的比例输出（MATLAB）
【发布时间】：2015-12-06 00:08:11
【问题描述】：

我正在使用 MATLAB 中的 FFT 命令对音频 (.wav) 数据进行一些傅立叶变换。输入值是介于 -1.0 和 1.0 之间的数字

我的理解是，在取 FFT 输出的绝对值（模数）之后，我应该得到具有幅度单位的值，但实际值在数千个数量级。这没有任何意义，因为理论上我应该能够对傅立叶分量求和以获得原始信号。我觉得输出也应该在 0 和 1 之间，那么这里发生了什么？我的猜测是 FFT 算法使它不成比例，但我不确定使用什么值来缩小它。

【问题讨论】：

标签： matlab signal-processing fft dft

【解决方案1】：

在 Matlab 中使用以下代码从 1 缩放到（大致）0。

dataDFT=abs(fft(data)); % Take the complex magnitude of the fft of your data
dataDFTScaled=dataDFT/max(dataDFT); % Divide by the maximum value

您不希望它缩放到零，因为这会导致无法在对数图上查看。

【讨论】：

【解决方案2】：

FFT 是一种用于计算离散傅里叶变换 (DFT) 的算法。 inverse DFT (IDFT) 在其定义中具有 1/N 个比例因子。也许这就是让你感到困惑的地方。来自维基百科：

DFT（从有限序列x到傅里叶系数X）：
IDFT（从 X 回到 x）：

所以，只需将ifft 应用于fft 的结果，您就会得到原始结果。例如：

>> x = linspace(-1,1,5)
x =
   -1.0000   -0.5000         0    0.5000    1.0000

>> y = fft(x)
y =
        0            -1.2500 + 1.7205i  -1.2500 + 0.4061i  -1.2500 - 0.4061i  -1.2500 - 1.7205i

>> abs(y)
ans =
         0    2.1266    1.3143    1.3143    2.1266 %// note values greater than 1

>> ifft(y)
ans =
   -1.0000   -0.5000    0.0000    0.5000    1.0000

事实上，IDFT 可以是expressed in terms of the DFT，应用复共轭和参考的比例因子。用F表示DFT，用F^-1表示IDFT，用*表示复共轭，

在上面的例子中，

>> 1/numel(y) * conj(fft(conj(y)))
ans =
   -1.0000   -0.5000    0.0000    0.5000    1.0000

【讨论】：

当然，另一个（同样有效的）定义在 DFT 和 IDFT 中都有一个 sqrt(1/N) 术语——这可能给出了 OP 所期望的结果
@BenVoigt 好点。但是，至少在我的经验中，DFT 的 1 缩放和 IDFT 的 1/N 缩放是最常见的定义
我想我知道由于对每个 X_k 求和超过 n 会导致比例失真，但是有没有办法恢复正确的比例？也就是说，如果输入类似于方波，则在分析完成后，输出将是奇次谐波与
**抱歉评论还没写完就发了：
我的意思是：我想我理解由于每个 X_k 对 n 求和而导致比例失真（如果这是错误的，请纠正我），但是有没有办法恢复“有意义的”缩放？即每个傅立叶分量对信号的贡献比例？如果 F.T.分析完成并且输入是方波，输出将是具有系数（1 / n）的奇次谐波（也许我也对此感到困惑？）并且这些系数都不会超过函数的原始幅度。那么如何在 DFT 中恢复呢？