按顺序插入元素时保持二叉树平衡

Question

当已知元素总是按顺序插入时，我想知道是否有合适的算法来保持二叉树的平衡。

对此的一种选择是使用从排序数组或链表创建平衡树的标准方法，如this 问题和this 其他问题中所述。但是，我想要一种方法，可以将一些元素插入树中，然后对其执行查找，然后再添加其他元素，而无需将树分解为列表并重新制作整个事物。

另一种选择是使用许多自平衡树实现中的一种，AVL、AA、Red-Black 等。但是，所有这些都会在插入过程中产生某种开销，而我是考虑到元素总是以递增顺序插入的约束，想知道是否有办法避免这种情况。

所以，为了清楚起见，我想知道是否有一种方法可以保持平衡的二叉树，这样我就可以在任意点插入任意新元素并保持树的平衡，提供新元素在树的排序中大于树中已经存在的所有元素。

例如，假设我有以下树：

       4
      / \
     /   \
    2     6
   / \   / \
  1   3 5   7

如果我知道元素会大于7，有没有一种简单的方法可以在插入新元素时保持平衡？

Answer 1

如果您真的有兴趣使用 BST（我认为这不是最佳选择，您可以在我的其他答案中看到），您可以这样做：

BST 正常。这意味着查找是 O(log N)，如果我们设法在插入期间保持深度。

当进行插入时（假设我们有一个比之前所有的都大的元素），你从根走到最右边的元素。当你遇到一个子树是完美二叉树的节点时（所有内部节点都有 2 个子节点，所有叶子都在相同的深度），你插入新节点作为这个节点的父节点。

如果你到达树中最右边的节点并且你没有应用前面的规则，这意味着它有一个左孩子，但它没有右孩子。因此，新节点成为当前节点的右孩子。

例如，在下面的第一棵树中，4 的子树不是完美的，但 5 的子树是完美的（根据定义，只有一个节点的树是完美的）。因此，我们将 6 添加为 5 的父节点，这意味着 4 现在是 6 的父节点，而 5 是 6 的左子节点。

如果我们尝试添加另一个节点，那么 4 的子树仍然不是完美的，6 的子树也不是。而 6 是最右边的节点，所以我们添加 7 作为 6 的右孩子。

     4             4             4
    / \           / \           / \
   /   \         /   \         /   \
  2     5 -->   2     6 -->   2     6
 / \           / \   /       / \   / \
1   3         1   3 5       1   3 5   7

如果我们使用这种算法，根的左孩子的子树将永远是完美的，而右孩子的子树的高度永远不会大于左孩子的高度。因此，整棵树的高度总是 O(log N)，查找时间也是如此。插入也需要 O(log N) 时间。

与自平衡 BST 相比，时间复杂度相同。但是这个算法应该更容易实现，实际上可能比它们更快。

与我其他答案中基于数组的解决方案相比，查找的时间复杂度相同，但此 BST 的插入时间更差。

Answer 2

对于您描述的要求，您根本不需要树。您只需要一个已排序的dynamic array。

插入时，总是在最后插入（O(1) 摊销）。

搜索时，使用普通binary search (O(log N))。

这假设您不需要任何其他操作，或者您不介意它们将是 O(N)。

Answer 3

我假设您先验地知道元素是按递增顺序排列的。此外，我想您想要一棵树来快速搜索特定元素。

我不确定二叉树是否最适合您描述的快速插入。但是可能还有其他数据结构可以很好地处理您描述的用例：尽管我从未使用过它，但skip-list 出现在我的脑海中。由于您总是插入大于集合中所有元素的元素，因此更新指针应该很容易。