如何确定相机方向与平面的交点？

Question

我有一个 3D 场景，在沿 Y 垂直轴的高度 H 处具有无限水平面（平行于 xz 坐标）。

我想知道如何确定我的相机轴和这个平面的交点。

相机由一个视图矩阵和一个投影矩阵定义。

Answer 1

这里有两个子问题：1）从相机矩阵中提取位置和视图方向。 2) 计算视线与平面的交点。

提取位置和视图方向

视图矩阵描述了点如何从世界空间转换到视图空间。 OpenGL中的view-space通常被定义为相机在原点并且朝向-z方向。

为了获得相机的位置，我们必须将视图空间的原点 [0,0,0] 转换回世界空间。从数学上讲，我们必须计算：

camera_pos_ws = inverse(view_matrix) * [0,0,0,1]

但是在查看方程时，我们会发现我们只对包含 ¹

的逆矩阵的第 4 列感兴趣

camera_pos_ws = [-view_matrix[12], -view_matrix[13], -view_matrix[14]]

可以通过类似的计算找到相机的方向。我们知道相机在视图空间的 -z 方向上看，因此世界空间方向由下式给出

camera_dir_ws = inverse(view_matrix) * [0,0,-1,0];

同样，在查看等式时，我们会看到这仅考虑了由 ²

给出的逆矩阵的第三行

camera_dir_ws = [-view_matrix[2], -view_matrix[6], -view_matrix[10]]

计算交点

我们现在知道相机位置 P 和观察方向 D，因此我们必须找到沿射线 R(x,y,z) = P + l * D 的 x,z 值，其中 y 等于 H。由于只有一个未知数 l，我们可以计算出来自

y = Py + l * Dy
H = Py + l * Dy
l = (H - Py) / Dy

然后通过将 l 粘贴回射线方程来给出交点。

备注

¹ 索引假定矩阵存储在以列为主的线性数组中。

² 注意，逆矩阵的形式是

M = [  R T ]
       0 1

，其中 R 是正交 3x3 矩阵，由下式给出

inv(M) = [ transpose(R)  -T ]
                0         1

Answer 2

对于一般的线平面相交，有很多答案和教程。

由于平面是水平的，因此您的情况很简单。

我想相机在C(cx, cy, cz)，它看起来在T(tx, ty,tz)。
那么线camera-target可以定义为：

cx - x     cy - y     cz - z
------  =  ------  =  ------        /// These are two independant equations
tx - cx    ty - cy    tz - cz

对于水平面，只需要一个方程：y = H。 将这个值代入直线方程，你得到

(cx-x)/(tx-cx) = (cy-H)/(ty-cy)
(cz-z)/(tz-cz) = (cy-H)/(ty-cy)

所以

x = cx - (tx-cx)*(cy-H)/(ty-cy)
y = H
z = cz - (tz-cz)*(cy-H)/(ty-cy)

当然，如果你的摄像头也是水平线，那么ty=cy 并没有解决方案。