在二分搜索中计算中间值答案

【问题标题】：Calculating mid in binary search在二分搜索中计算中间值
【发布时间】：2011-10-07 19:03:49
【问题描述】：

我正在阅读一本算法书，其中包含以下二进制搜索算法：

public class BinSearch {
  static int search ( int [ ] A, int K ) {
    int l = 0 ;
    int u = A. length −1;
    int m;
    while (l <= u ) {
      m = (l+u) /2;
      if (A[m] < K) {
        l = m + 1 ;
      } else if (A[m] == K) {
        return m;
        } else {
          u = m−1;
        }
       }
       return −1;
      }
 }

作者说“错误在m = (l+u)/2;的赋值中，它可能导致溢出，应该用m = l + (u-l)/2替换。”

我看不出这会如何导致溢出。当我在脑海中为几个不同的输入运行算法时，我看不到中间值超出数组索引。

那么，什么情况下会发生溢出呢？

【问题讨论】：

2个数的加减乘乘都会产生更多的位，所以显然有溢出的可能
binary search middle value calculation的可能重复

标签： algorithm binary-search

【解决方案1】：

post 详细介绍了这个著名的错误。正如其他人所说，这是一个溢出问题。链接上推荐的修复方法如下：

int mid = low + ((high - low) / 2);

// Alternatively
int mid = (low + high) >>> 1;

还可能值得一提的是，如果允许负索引，或者它甚至不是正在搜索的数组（例如，在满足某些条件的某个整数范围内搜索一个值），上面的代码可能不是也正确。在这种情况下，像

这样丑陋的东西

(low < 0 && high > 0) ? (low + high) / 2 : low + (high - low) / 2

可能是必要的。一个很好的例子是searching for the median in an unsorted array without modifying it or using additional space，只需对整个Integer.MIN_VALUE–Integer.MAX_VALUE 范围执行二分搜索。

【讨论】：

您提供的链接对问题有明确的解释。谢谢！
只使用 (high / 2 + low / 2) 可以吗？
为什么 (low + high) 在上述替代方法中，即 int mid = (low + high) >>> 1 不会导致溢出？
这个溢出错误是否也适用于python？ Python 具有任意精度整数，因此添加长整数不会导致问题。
@Fakrudeen (high / 2 + low / 2) 截断最低有效位并会产生不正确的结果。例如，low=3, high=5、mid 变为 3 而应该为 4。

【解决方案2】：

以下 C++ 程序可以向您展示 32 位无符号整数如何发生溢出：

#include <iostream>
using namespace std;

int main ()
{
  unsigned int  low = 33,  
                high = 4294967290, 
                mid;

  cout << "The value of low is " << low << endl;
  cout << "The value of high is " << high << endl;

  mid = (low + high) / 2;

  cout << "The value of mid is " << mid << endl;
  
  return 0;
}

如果你在 Mac 上运行它：

$ g++ try.cpp; ./a.out
The value of low is 33
The value of high is 4294967290
The value of mid is 13

mid 的值可能预期为2147483661，但low + high 溢出，因为 32 位无符号整数不能包含正确的值，并返回 27，因此 mid 变为 @ 987654329@.

当mid的计算改为

mid = low + (high - low) / 2;

然后会显示

The value of mid is 2147483661

简单的答案是，加法l + u 可能会溢出，并且在某些语言中具有未定义的行为，如a blog post by Joshua Bloch, about a bug in the Java library for the implementation of binary search 中所述。

有些读者可能不明白这是什么意思：

l + (u - l) / 2

注意，在某些代码中，变量名是不同的，而且是

low + (high - low) / 2

答案是：假设您有两个数字：200 和 210，现在您想要“中间数字”。假设如果你添加任意两个数字，结果大于 255，那么它可能会溢出并且行为未定义，那么你能做什么呢？一个简单的方法就是将它们之间的差值相加，但只是将其一半加到较小的值上：看看 200 和 210 之间的差值是多少。它是 10。（您可以将其视为“差异”或“长度” “，它们之间）。所以你只需要将10 / 2 = 5 加到 200 上，得到 205。你不需要先将 200 和 210 加在一起——这就是我们可以计算的方式：(u - l) 是不同的。 (u - l) / 2 是其中的一半。将其添加到l，我们就有了l + (u - l) / 2。

就像，如果我们看两棵树，一棵高 200 英尺，一棵高 210 英尺，“中点”或“均值”是什么？我们不必先将它们加在一起。我们可以看出差值是 10 英尺，我们可以将其中的一半（即 5）加到 200 中，我们知道它是 205 英尺。

为了将其纳入历史观点，Robert Sedgewick 提到，第一次二分搜索是在 1946 年提出的，直到 1964 年才正确。Jon Bentley 在他 1988 年的《Programming Pearls》一书中描述了超过 90% 的专业人士几个小时后，程序员无法正确编写它。但即使是 Jon Bentley 本人也有 20 年的溢出错误。 1988 年发表的一项研究表明，在 20 部教科书中只有 5 部能找到准确的二分搜索代码。 2006 年，Joshua Bloch 写了一篇关于计算 mid 值的错误的博客文章。所以这个代码花了 60 年的时间才正确。但是现在，下次面试的时候，记得在那5分钟内写好。

【讨论】：

我认为您的意思是std::int32_t，而不是int（它的范围可能比您预期的要大）。

【解决方案3】：

问题是(l+u)首先被评估，并且可能溢出int，所以(l+u)/2会返回错误的值。

【讨论】：

【解决方案4】：

Jeff 建议非常好的 post 阅读有关此错误的信息，如果您想快速了解这里是摘要。

In Programming Pearls Bentley 说类似的行“将 m 设置为 l 和 u 的平均值，截断为最接近的整数”。从表面上看，这个断言可能看起来是正确的，但是它对于 int 变量 low 和 high 的大值会失败。具体来说，如果 low 和 high 的总和大于最大正 int 值 (2^31 - 1)，则会失败。总和溢出为负值，除以 2 时该值保持负数。在 C 中，这会导致数组索引超出范围，结果无法预测。在 Java 中，它会抛出 ArrayIndexOutOfBoundsException。

【讨论】：

【解决方案5】：

这是一个示例，假设您有一个非常大的数组，大小为 2,000,000,000 和 10 (10^9 + 10)，左侧的 index 位于 2,000,000,000，右侧的 index 位于 2,000,000,000 + 1。

使用lo + hi 将得到2,000,000,000 + 2,000,000,001 = 4,000,000,001。因为integer 的最大值是2,147,483,647。所以你不会得到4,000,000,000 + 1，你会得到integer overflow。

但是low + ((high - low) / 2) 可以。 2,000,000,000 + ((2,000,000,001 - 2,000,000,000) / 2) = 2,000,000,000

【讨论】：

【解决方案6】：

潜在的溢出存在于l+u 添加本身中。

这实际上是 JDK 中二分查找的 a bug in early versions。

【讨论】：

链接失效
@jdhao - 当时它正在工作。接受的答案有一个完整帐户的链接，由错误代码的作者提供。无论如何，我已经更新了我的链接。

【解决方案7】：

其实下面计算mid的语句可能会导致INT range溢出。

mid = (start + end) /2

假设给定的有序输入列表非常大，并假设它超过了INT range(-2^31 to 2^31-1)。 start + end 可能会导致异常。为了解决这个问题，写了以下语句：

mid = start + (end-start)/2

最终它会产生相同的表达式。但是这个技巧避免了异常。

【讨论】：

【解决方案8】：

int mid=(l+h)/2;会导致整数溢出问题。

(l+u) 被评估为一个大的负整数值及其一半被退回。现在，如果我们在数组中搜索一个元素，它会导致“索引超出范围错误”。

但是，问题已解决为：-

int mid=l+(h-l)/2;
位操作：为了更快的计算->int mid=((unsigned int)l+(unsigned int)h) >> 1 ;

其中>>是右移运算符。

希望这会有所帮助:)

【讨论】：

【解决方案9】：

我用一个会发生数字溢出的例子制作了这个视频。

https://youtu.be/fMgenZq7qls

通常，对于需要从数组中查找元素的简单二分搜索，由于 Java 等语言中的数组大小限制，这不会发生，但如果问题空间不限于数组，则可能会发生此问题。请参阅我的视频以获取实际示例。

【讨论】：

【解决方案10】：

为避免溢出，您还可以这样做： int midIndex = (int) (startIndex/2.0 + endIndex / 2.0);

您将两个指数除以 2.0 -> 你得到两个小于或等于 Integer.MAX_VALUE / 2 的双精度数，它们的总和也小于或等于 Integer.MAXVALUE 和一个双精度数。与 Integer.MIN_VALUE 相同。最后，将总和转换为 int 并防止溢出；）

【讨论】：

【解决方案11】：

这是一个非常微妙的错误，第一次很容易错过。网上的大部分文章似乎都没有清楚地解释这个错误是如何发生的，以及优化后的公式是如何防止溢出的。

经过大量挖掘，我找到了this 文章，该文章对使用mid = (left+right)/2 公式时如何发生错误以及如何使用mid = low + ((high - low) / 2) 克服该错误进行了出色而详细的解释。最重要的是他们用例子来解释它，这使得理解变得更加容易。

这也解释了为什么mid = low + ((high - low) / 2) 不会导致溢出。

【讨论】：