程序员视角教科书中的无符号/有符号算术问题

Question

int x = random();
int y = random();

unsigned ux = (unsigned) x;
unsigned uy = (unsigned) y;

对于以下每个 C 表达式，你要指出是否 不是表达式总是产生 1。如果它总是产生 1，请描述基本的数学原理。否则，请给出一个使其产生 0 的参数示例。

A. (x<y) == (-x>-y) 
B. ((x+y)<<4) + y-x == 17*y+15*x
C. ~x+~y+1 == ~(x+y)
D. (ux-uy) == -(unsigned)(y-x)
E. ((x >> 2) << 2) <= x

---

对于这些问题，我知道只有 A 可以产生 0，而其余的总是产生 1。

我知道这可能是错误的，我不是在寻找直接的答案，但我希望获得一些关于如何解决这些问题的一般知识/建议。

我有一位非常糟糕的教授，我一直在尝试在线查找资源，但我真的不知道从哪里开始或寻找什么。我知道无符号/二进制补码算术和位移的基础知识，但我不知道如何应用它来找到这些问题的反例。

Answer 1

C 编程语言没有指定整数有符号量溢出的结果；如果x 是有符号且为负数，它也不会定义x << n。

但是，算术运算不考虑符号而执行的情况并不少见，考虑到有符号和无符号 n 位整数都是以二进制补码系统表示的模 2^n 的数字。

这必须假设为您的练习，否则几乎没有意义。

8 位整数示例：

unsigned domain: (0..127), ( 128..255)
signed   domain: (0..127), (-128..-1)

二进制表示：

unsigned domain: 00000000..01111111 and 10000000..11111111
signed   domain: 00000000..01111111 and 10000000..11111111

有符号和无符号之间，只有整数的代表系统 模 2^n 不同，这与打印相关，但与内部无关 计算（只要只使用+、-、* 和按位运算）。

对于有符号整数，负整数的第一位设置为 1. 有符号和无符号之间的转换是无关的，除了打印。

我坚持，这是假设你的练习，但 C 编程语言 没有具体说明我的大部分声明。

A. (x<y) == (-x>-y)

被x == INT_MIN、y == INT_MIN + 1反驳， 因为INT_MIN == -INT_MIN。

B. ((x+y)<<4) + y-x == 17*y+15*x

正确：

   ((x+y) << 4     ) + y-x
== ((x+y) * 0x10000) + y-x
== ((x+y) * 16     ) + y-x
== 17 * y + 15 * x

C. ~x+~y+1 == ~(x+y)

正确：

x + ~x + 1 == 0
~x + 1 == -x
~(x+y) + 1 == -(x+y)
~(x+y) + 1 == -x + -y
~(x+y) + 1 == ~x + 1 + ~y + 1
~(x+y) == ~x + ~y + 1

D. ((unsigned)x-(unsigned)y) == -(unsigned)(y-x)

True：假设从有符号到无符号的转换不会改变内部 表示，并且假设运算符忽略 整数。换句话说，x-y == -(y-x) 在任何放置演员表的地方都成立。

E. ((x >> 2) << 2) <= x

正确：

   x 
== (x >> 2) << 2 + two_last_significant_bits_of_x
== (x >> 2) << 2 + positive
>= (x >> 2) << 2

带符号 32 位整数的示例：

x              == 5
x              == 00000000000000000000000000000101 in base2
x >> 2         == 00000000000000000000000000000001 in base2
(x >> 2) << 2  == 00000000000000000000000000000100 in base2
(x >> 2) << 2  == 4

x              == -5
x              == 11111111111111111111111111111011 in base2
x >> 2         == 11111111111111111111111111111110 in base2
(x >> 2) << 2  == 11111111111111111111111111111000 in base2
(x >> 2) << 2  == -8