具有两个权重属性的图的 Dijkstra 算法的变体

Question

我正在尝试为映射到具有非负权重边的有向图的问题寻找启发式方法。然而，每条边都与 两个 权重属性相关联，而不是只有一个权重（例如，一个是距离，另一个显示道路的 4G LTE 覆盖范围有多好！）。 dijkstra、Bellman Ford 或任何其他追求此目标的算法是否有任何特定变体？当然，一种简单的解决方法是手动将单个权重属性作为所有这些属性的组合，但这看起来并不好。

能否推广到具有多个属性的情况？

Answer 1

假设您想同时优化两个标准：距离和吸引力（并且说路径吸引力被定义为最吸引人的边缘的吸引力，尽管您可以考虑不同的定义）。 Dijkstra 的以下变体可以证明是有效的，但我认为它主要适用于其中一个标准采用少量值的情况 - 比如说吸引力是 1, ..., k固定k（i越小越好）。

standard pseudocode for Dijsktra's algorithm 使用单个优先级队列。而是使用 k 优先级队列。优先级队列 i 将在 Dijkstra 算法中对应到节点 v ∈ 的最短路径。 V 具有吸引力 i。

首先初始化每个节点在距离 ∞ 的每个队列中（因为，最初，到 v 的最短路径具有吸引力 i em> 是无限的）。

在 Dijkstra 主循环中，它说

 while Q is not empty

改成

 while there is an i for which Q[i] is not empty
     Q = Q[i] for the lowest such i

然后从那里继续。

请注意，当您更新时，您会从队列Q[i] 中弹出，并插入到Q[j] 以获取j ≥ i。

可以修改 Dijkstra 松弛属性的证明来证明这是可行的。

请注意，您将获得最多 k |V| 个结果，根据节点和吸引力，您可以获得到具有给定吸引力的节点的最短距离。

示例

以cmets为例：

因此，基本上，如果一条路径的总无覆盖英里数 >10，那么我们会选择另一条路径。

这里，例如，假设英里是整数（或可以四舍五入为整数），我们可以创建 11 个队列：队列 i 对应于 i 的最短距离无保障里程，但 10 英里除外，它对应于 10 或更高的无保障里程。

在算法的某个时刻，假设队列 3 下方的所有队列都是空的。我们弹出队列 3，并更新顶点的邻居：这可能会更新，例如队列 4 中的某个节点，如果从弹出节点到另一个节点是1。

当算法运行时，它输出（节点，无覆盖距离）→最短距离的映射。在这里，您可以决定放弃对中第二项为 10 的所有映射。