f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-1)*f(n-2);
1 1
以 10^9 + 7 为模输出答案。
我发现的通用术语是， f(n) = (((1 + f(1))^T(n)) * ((1 + f(0))^T(n-1))) - 1; 这里 T(n) 是第 n 个斐波那契数。
我使用矩阵求幂和模幂来解决问题，但它给出了 TLE。
【问题讨论】：
标签： java c++ c++11 recursion recurrence
只要您没有提供代码示例，我就会给您一个大致的概念。
我个人不会使用递归，因为n 可能很大，从而导致填充堆栈的低效和长计算并导致溢出。所以最好用数组来实现一个循环。
下一个技巧是保持数字相对较小，对每一步进行模数计算。 (a+b+ab)%m 等于 (a%m + b%m + (a%m)*(b%m))%m（参见 wiki），因此我们将数字保持在 0..10^9 范围内
这里是一个解决方案的例子：
const unsigned int mod = 1e9+7;
std::vector<unsigned int> vec(n+1); // prepare vector of needed size
// size is n+1 because we start from 0 and you need vec[n]
vec[0] = 1;
vec[1] = 1e9;
unsigned long long int r1, r2; // long long will prevent r1*r2 from overflowing
for (unsigned int i = 2; i <= n; ++i)
{
r1 = vec[i-1] % mod;
r2 = vec[i-2] % mod;
vec[i] = (r1 + r2 + r1*r2) % mod;
}
std::cout << vec[n];
您使用 [c++] 和 [java] 标记了您的问题。上面的代码在 [c++] 中，我希望你能在需要时移植它
【讨论】：
k=1000000007 是素数。所以a^b mod k 等价于a^(b mod (k-1))。
mod k，f(0)+1 为 2，f(1)+1 为 -6。
通过重复平方和选择要相乘的正方形，可以有效地完成幂次运算。
计算第 n 个斐波那契模 1000000006 很棘手（对于较大的 n）。我不知道一个简单的封闭形式。
啊哈！皮萨诺周期是斐波那契数模某个值重复的周期。 k 被分解为素数 2 * 500,000,003
只需计算 2 和 500000003 的Pisano period。取这两个素数的 pisano 周期的 LCM 即可得到它们乘积的 pisano 周期。我们可以使用它来减少值 n 以这个数字为模，然后再将它提供给斐波那契。
这给了我们一个有界斐波纳契计算（希望易于处理），得到斐波纳契结果 mod 1000000006，然后我们可以使用平方技术（mod 1000000007）将 2 和 -6 提高到该幂，将它们加在一起并减 1。
祝你好运计算皮萨诺周期。如果它是合理的（并且大多数看起来是合理的），您应该能够在几分之一秒内获取十亿位数的 n 并求解。
现在，皮萨诺时期和斐波那契的封闭形式是基于一些数论和数学。因此，我们可以尝试直接为这种重复关系生成类似的数论/等结果，而不是通过您找到的身份。可以说这会更难，但可能会导致更清晰的答案。
【讨论】：