找到这个二元递推方程的公式？ f(m,n) = f(m-1,n) + f(m,n-1)

Question

对不起各位！我的错！感谢您的提醒，我发现f（0，k）== f（k，0）== 1。这个问题是关于如何计算从网格（0,0）到（m，n）的最短路径数)。

我现在必须解下列方程，找出 f(m,n) 到底等于什么。

1) f(m,n) = 0 : when (m,n) = (0,0)
**2) f(m,n) = 1 : when f(0,k) or f(k,0)**
3) f(m,n) = f(m-1,n) + f(m,n-1) : when else

例如：

1) f(0,0) = 0; 
2) f(0,1) = 1; f(2,0) = 1; 
3) f(2,1) = f(1,1) + f(2,0) = f(0, 1) + f(1, 0) + f(2, 0) = 1 + 1 + 1 = 3  

我记得几年前我在算法课上学过的这种二元递归方程有一个标准的求解方法，但我现在不记得了。

谁能给点提示？或者一个关键字如何找到答案？

Answer 1

这只是二项式系数

f(m,n) = (m+n choose m) = (m+n choose n)

您可以通过注意它们满足相同的递归关系来证明这一点。

要导出公式（如果您不能只是猜测然后检查），请使用 Chris Nash 正确建议的生成函数。

Answer 2

呃，我只是在阅读关于生成函数的旧教科书很开心，你又去改问题了！

这个问题是关于如何计算从网格(0,0)到(m,n)的最短路径数。

这是一个基本的组合问题 - 它不需要了解任何有关生成函数甚至递归关系的知识。

为了解决这个问题，想象将路径写成 U（代表“向上”）和 R（代表“右”）的序列。如果我们从 (0,0) 移动到 (5, 8)，则必须有 5 个 R 和 8 个 U。举个例子：

RRUURURUUURUU

在这个例子中，总会有 8 个 U 和 5 个 R；不同的路径只会让它们以不同的顺序排列。所以我们可以为我们的U选择8个位置，其余的必须是R。因此，答案是

(8+5) choose (8)

或者，一般来说，

(m+n) choose (m)

Answer 3

尝试在文献中查找“生成函数”。一种方法是想象一个函数 P(x,y)，其中 x^m y^n 的系数是 f(m,n)。递归线（第 3 行）告诉您 P(x,y) - xP(x,y) - yP(x,y) = (1-xy) P(x,y) 应该非常简单，除了那些讨厌的边缘值。然后求解 P(x,y)。

你确定f(k,0) = f(0,k) = k，而不是1，也许？如果是的话，我会说最好的办法是写出一些值，猜测它们是什么，然后证明它。