无向图中的 MST

Question

我有一个不规则图 G=(V,E) 和权重函数 w:E->R+。另外，我有 G 的 MST T。

我必须构建一个执行以下操作的算法：
如果我们向 E 添加一个权重为 w(e') 的新边 e'。建议使用一种算法更新 T，使其成为新图 G'=(V,EUe') 的 MST。
复杂度：O(V)。

我的建议是：

1) 将 e' 添加到 T。我们得到一个名为 T' 的新图，其中包含一个循环。
2) 在 T' 上运行 DFS 并标记您访问的每个顶点。另外保存
堆栈中的每个顶点和每个边的权重。
3) 当我们访问一个已经访问过的顶点时，我们停止运行。
4) 并开始从堆栈中退出，直到我们到达我们停止的顶点。
5）在撤回时，我们保存我们从撤回的最大边权重 堆栈。
6) 如果最大边权重大于 w(e')，我们将替换它们。
7) 否则我们保持相同的 T。

我希望它很清楚。
如果有人能告诉我它是否有效或给我其他的，我将不胜感激
解决方案和建议。

Answer 1

是的，您建议的解决方案是正确的，因为具有相同数量的边和节点（如 T）的图由一个简单的循环组成，其中树根植于该循环的某些（可能没有）节点。

您需要从 T 中准确删除 1 条边，以使剩余的图仍然连接。显然最好的选择是删除最大的边。在保持图形连接的同时，您可以删除的唯一边是循环中的边（您要添加到堆栈中的边）。

另一种解决方案是在图中找到bridges，然后找到最大的非桥边并将其删除。但是，由于这是一个特殊的图表，您提到的解决方案会容易得多（非桥边是循环中的边）。