给定一个 G(V,E) 加权（在边上）图，我需要找到属于每个 MST 的边数以及属于至少一个但不是全部的边数和那些不属于任何人。
图表以以下形式作为输入（示例）：
3 3
1 2 1
1 3 1
2 3 2
前 3 是节点数，后 3 是边数。以下三行是边，第一个数字是它们的起点，第二个是它们的终点，第三个是值。
我曾考虑过运行 kruskal 一次以找到一个 MST，然后对于属于 G 的每个边检入（线性？）时间是否可以在不改变其整体重量的情况下替换此 MST 中的一条边。如果可以t 它不属于任何。如果它可以属于一个但不是全部。我还可以在第一个 MST 中标记边缘（可能带有第二个值 1 或 0），最后检查其中有多少不能被替换.这些是属于每个可能的 MST 的。这个算法可能是 O(V^2)，我不太确定如何用 C++ 编写它。我的问题是，我们能以某种方式降低它的复杂性吗？如果我向 MST 添加一条边，我如何检查（并在 C++ 中实现）形成的循环是否包含一个重量较小的边？
【问题讨论】：
您可以通过向 Kruskal 算法添加一些额外的工作来做到这一点。
在 Kruskal 算法中，具有相同权重的边可以按任何顺序排列，而实际检查它们的顺序决定了您从所有可能的 MST 中得到哪个 MST。对于每一个 MST，都有一个排序一致的边的顺序会产生那棵树。
无论使用什么排序一致的顺序，联合查找结构的状态在权重之间都是相同的。
如果只有 一个 特定权重的边，那么如果 Kruskal 算法选择它，它就在每个 MST 中，因为它将以任何排序一致的边顺序被选择，否则它是没有 MST。
如果有多个具有相同权重的边，并且 Kruskal 算法会选择其中至少一个，那么您可以在该点暂停 Kruskal 并制作一个新的（小）图，其中仅包含连接不同集合的那些边，使用它们作为顶点连接的集合。
所有这些边缘都在至少一个 MST 中，因为 Kruskal 可能会先选择它们。新图中的任何 桥 边都在 每个 MST 中，因为无论如何 Kruskal 都会选择它们。见：https://en.wikipedia.org/wiki/Bridge_(graph_theory)
所以，修改克鲁斯卡尔算法如下：
由于寻桥可以在线性时间内完成，并且每条边最多在一个小图中，所以整个算法仍然是O(|V| + |E| log |E|)。
【讨论】：