如果向无向加权图 G 添加新边，则查找 MST T 是否仍然是新图 G' 的 MST

Question

这是一个复习问题，我正在尝试了解我的答案是否正确。

这是原始问题的要点：

您有一个加权无向图的 MST，T，然后在节点（u 和 v）之间的原始图中引入一条新边以创建新图 G'。给出一个线性时间算法来确定 T 是否是 G' 的 MST。

我的回答：

原始图的MST T 不包含任何循环。从节点 u 到节点 v 应该只有一条路径。我们可以将新边添加到我们的 MST 中，这可以在 O(1) 时间内完成以生成我们的新树 T'。然后，我们可以在 T' 上从 u 到 v 运行 DFS，在 O(|V| + |E|) 时间内完成。添加新边后，我们应该在 u 和 v 之间获得最多 2 条路径。一条将使用新边，一条不使用。我们可以在 O(1) 时间内比较这两条路径。如果两者中较短的一个使用新边，那么我们知道原始 MST“T”不是新图 G' 的 MST。我们的整个算法将在线性时间内完成。

Answer 1

这是一个正确的算法，并且您已经证明，如果它找到较轻的树，那么旧树就不是最小的。你仍然需要证明，如果它没有找到更轻的树，那么老树仍然是最轻的。