计算图中 MST 的数量

Question

这个问题我想了好几个小时，还是没有找到解决办法

问题是：

给定图表有多少个 MST （MST := 最小生成树）

图 G 是一个无向的连通图

保证没有顶点的度数超过 3 :)

更喜欢 C/C++ 方案（也能理解 like-code-formed Algorithm）

请以低顺序:)（运行时间）

更新

首先找到所有 MST :) O( |E| 对数 |E| )

其他更糟糕的:(

Answer 1

您可以尝试回溯。在每个“叶子”顶点之一的步骤中，决定使用多少“出”边。

function add_some_vertex_edges(leaves, edge):
  if |leaves| == |V|:
    num_of_MSTs += 1
    return
  v = leaves.pop()  # takes one vertex and removes it from leaves
  let v_edge be set of incident edges to v that are not already in edges and that don't make cycle if added to edges
  for each combination of edges from v_edge:
    add_edges(leaves + incident_vertices, edges + edge_combination)

add_some_vertex_edges({v}, {})

由于顶点度数

最坏情况下的运行时间是 O(2^n)，但在实际情况下它可能很快。有最坏情况下 MST 数量的示例。我能想到的例子是两条平行的顶点线和它们之间的连接。

O---O---O---O---O---O---O---O---O---
 \ /     \ /     \ /     \ /     \ /
  X       X       X       X       X ...
 / \     / \     / \     / \     / \
O---O---O---O---O---O---O---O---O---

在此示例中，正好有 2^(n/2) 个 MST。要计算这个，取 2 个最左边的顶点。它们可以通过 4 种方式连接到图表的其余部分。

O---O   O   O   O   O   O---O
         \ /     \ /     \ /
          X       X       X
         / \     / \     / \
O---O , O   O , O---O , O   O

对于每组相互连接的 4 个顶点，有 4=2^2 种可能性可供选择。