你能帮我解决递归关系 T(1)=5，对于所有 n>=2，T(n)=2T(n-1)+(3*n+1)答案

【问题标题】：Can you help me to solve recurrence relation T(1)=5, and for all n>=2, T(n)=2T(n-1)+(3*n+1)你能帮我解决递归关系 T(1)=5，对于所有 n>=2，T(n)=2T(n-1)+(3*n+1)
【发布时间】：2021-02-07 12:20:40
【问题描述】：

T(1)=5,

对于所有n>=2: T(n)=2T(n-1)+(3*n+1).

我试图解决这个问题，但是我遇到了 3*n+1 的问题。当我把n-1，n-2，...，我不知道如何确定这个问题的公式。

【问题讨论】：

我可能错了，但看起来像((2^n)*n)
当我放 n-2 时，我不会得到 3*n-5
我投票结束这个问题，因为它是一个数学问题，而不是一个计算机编程问题。
这类问题可以通过计算机代数系统来解决，例如wolframalpha.com/input/?i=T%28n%29%3D2T%28n-1%29%2B%283*n%2B1%29会给你答案。给出答案很容易验证它就是答案。

标签： time-complexity recurrence

【解决方案1】：

因为术语只有(3*n+1) 而不是T(3*n+1)，所以这是可以解决的。第一印象：您有2T(n-1) 作为子项，所以解决方案类似于2^n。

通过简单的 Excel 数据分析，我找到了解决方案 T(n)=-7-3n+15 * 2^(n-1)，我将尝试手动解决它，如果找到正确的路径，我会更新我的答案。

编辑：这比预期的要困难......

解释：

第一步是获取n 的求和公式。您可以从前几个T(n) 中得出这种模式。
一旦你得到了模式，试着去掉总和。
要求解总和，请尝试以与sum_(i=1)^n (1) = n 或sum_(i=0)^n (2^i) = 2^(n+1)-1 类似的格式获取它们
为此，您可以操作索引，例如sum_(i=2)^n (n-i) = sum_(i=0)^(n-2) (i)，或在总和中包含/排除元素。
最棘手的部分是解决sum_(i=0)^n ((n-i)*(2^i))。这里的想法是将乘法（取决于i）转换为和（也取决于i）。
请注意不断变化的索引编号。 sum_(i=0)^n (2^i) 与 sum_(i=1)^n (2^i) 不一样
该路径不是最有效的路径，请随意简化。

【讨论】：