在 O(log n) 时间内找到连续整数数组中的重复元素答案

【问题标题】：Find the duplicate element in an array of consecutive integers in O(log n) time在 O(log n) 时间内找到连续整数数组中的重复元素
【发布时间】：2014-12-28 06:21:02
【问题描述】：

几天前，在一次采访中，我被要求提供一个程序，该程序可以在O(log n) 时间找到连续整数数组中的单个重复元素。

这种情况有些具体，因为总共有 11 个整数（1 到 10，按此顺序）加上，其中任何一个数字的一个副本，插入在两者之间的某个位置。

给了我一个类似这样的样本：

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 2, 7, 8, 9, 10}

所以，现在我想出了以下 C 代码：

#include <stdio.h>

int main (void)
{
    int a[11] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 2, 7, 8, 9, 10}, first=0, last=10, mid;

    while (1)
    {
        mid = (first + last)/2;

        if (mid+1 == a[mid])
            first = mid+1;

        else if ((mid == 0) || (mid == 10) || (a[mid+1] - a[mid-1] == 1))   /* Order is Important, (a[mid+1] - a[mid-1] == 1) must be last */
            break;

        else
            last = mid-1;
    }

    printf("Duplicate element is %d, located at position no. %d.", a[mid], mid+1);

    return 0;
}

这是否能正确满足O(log n) 标准？而且，是否有任何替代/改进？

【问题讨论】：

提示：始终使用半开区间。顺便说一句：elseif-brnch 中的那些神奇数字呢？

标签： c arrays algorithm optimization duplicates

【解决方案1】：

是的，它具有O(log n) 时间复杂度。

使用以下事实可以使代码更清晰：您需要找到最小的i，使得a[i] != i + 1，因此可以以更简洁的方式实现：

//invariant: the [0...low] prefix does not contain a duplicate
//           the [0...high] prefix contains a duplicate
low = 0 //[0...0] prefix obviously does not contain a duplicate
high = 10 //the entire array obviously contains a duplicate
while high - low > 1:
    mid = (low + high) / 2 
    if a[mid] != mid + 1:
        high = mid
    else:
        low = mid
print(a[high], high)

【讨论】：

【解决方案2】：

我们可以修改binary search algorithm来获得解决方案。在binary search 中，我们有一个键，我们使用这个键通过二等分数组大小来找到它的位置。在这里，我们没有钥匙，而是必须找到它。但是duplicate element 的行为可以用于bisect 数组大小。如何？让我们看看：

仔细查看数据，我们可以很容易地看到，在连续元素数组中的随机位置（比如index）插入重复元素后，元素的属性将发生变化（a[i] == i+1 --> a[i] != i+1）位置index（包括index）。现在这个改变的属性可以用来平分数组大小。因此，我们可以在O(log(n)) 中找到重复项。

例如，考虑给定数组：{1, 2, 3, 4, 5, 6, 2, 7, 8, 9, 10}

{1,  2,  3,   4,  5,  6,  2,  7,  8,  9,  10}
                          ||
                          from this position the the property of (a[i] == i+1) will no more satisfied.

这个属性可以作为模型来平分解决方案中的数组大小。

void  binary_duplictae_finder(int a[], int low, int high) {

   int mid=(low+high)/2;

   if(high - low > 1){
          if(a[mid]!=mid+1)
              binary_duplictae_finder(a, low, mid);
          else
              binary_duplictae_finder(a, mid, high);
   }

   if(high==low+1)
      printf("%d ", a[high]);
 }

【讨论】：